Ta cần tính tỷ số $\frac{A}{B}$, với:

$A = 92 - \frac{1}{9} - \frac{2}{10} - \frac{3}{11} - \ldots - \frac{92}{100}$
và
$B = \frac{1}{45} + \frac{1}{50} + \frac{1}{55} + \ldots + \frac{1}{500}$

---

Ta nhận thấy A có dạng:

$A = \sum_{k=1}^{92} \left( k - \frac{k}{k+8} \right) = \sum_{k=1}^{92} k\left(1 - \frac{1}{k+8} \right)$

$A = \sum_{k=1}^{92} \left( k - \frac{k}{k+8} \right) = \sum_{k=1}^{92} \left( \frac{k(k+8) - k}{k+8} \right) = \sum_{k=1}^{92} \left( \frac{k^2 + 8k - k}{k+8} \right)$

$= \sum_{k=1}^{92} \left( \frac{k^2 + 7k}{k+8} \right)$

Chia tử cho mẫu sẽ khó, nên ta thử viết lại:

$A = \sum_{k=1}^{92} k\left(1 - \frac{1}{k+8} \right) = \sum_{k=1}^{92} \left( k - \frac{k}{k+8} \right)$

Tách thành:

$A = \sum_{k=1}^{92} k - \sum_{k=1}^{92} \frac{k}{k+8}$

Trong đó:

- $\sum_{k=1}^{92} k = \frac{92 \cdot 93}{2} = 4278$

Còn $\sum_{k=1}^{92} \frac{k}{k+8}$ ta đặt $i = k+8 \Rightarrow k = i - 8$, khi $k = 1 \Rightarrow i = 9$, khi $k = 92 \Rightarrow i = 100$

Do đó:

$\sum_{k=1}^{92} \frac{k}{k+8} = \sum_{i=9}^{100} \frac{i-8}{i} = \sum_{i=9}^{100} \left(1 - \frac{8}{i} \right) = \sum_{i=9}^{100} 1 - \sum_{i=9}^{100} \frac{8}{i}$

Có 92 số từ 9 đến 100 nên:

$\sum_{i=9}^{100} 1 = 92 \Rightarrow \sum_{k=1}^{92} \frac{k}{k+8} = 92 - 8 \sum_{i=9}^{100} \frac{1}{i}$

Vậy:

$A = 4278 - \left(92 - 8 \sum_{i=9}^{100} \frac{1}{i} \right) = 4278 - 92 + 8 \sum_{i=9}^{100} \frac{1}{i} = 4186 + 8 \sum_{i=9}^{100} \frac{1}{i}$

---

Ta thấy:

$B = \sum_{n=1}^{20} \frac{1}{5n + 40} \quad \text{(vì từ 45 đến 500 cách nhau 5, nên có 92 số)}$

Với:

$B = \sum_{n=1}^{92} \frac{1}{5n + 40} = \sum_{k=45}^{500, \text{cách } 5} \frac{1}{k}$

Thay đổi biến: đặt $k = 5n + 40 \Rightarrow n = \frac{k - 40}{5}$

Tức:

$B = \sum_{n=1}^{92} \frac{1}{5n + 40}$

Rút gọn:

$B = \sum_{n=1}^{92} \frac{1}{5(n + 8)} = \frac{1}{5} \sum_{n=1}^{92} \frac{1}{n + 8} = \frac{1}{5} \sum_{i=9}^{100} \frac{1}{i}$

---

Ta có:

$A = 4186 + 8 \sum_{i=9}^{100} \frac{1}{i}, \quad B = \frac{1}{5} \sum_{i=9}^{100} \frac{1}{i}$

Do đó:

$\frac{A}{B} = \frac{4186 + 8 \sum_{i=9}^{100} \frac{1}{i}}{\frac{1}{5} \sum_{i=9}^{100} \frac{1}{i}} = \frac{4186}{\frac{1}{5} \sum_{i=9}^{100} \frac{1}{i}} + \frac{8 \sum_{i=9}^{100} \frac{1}{i}}{\frac{1}{5} \sum_{i=9}^{100} \frac{1}{i}} = 5 \cdot \frac{4186}{\sum_{i=9}^{100} \frac{1}{i}} + 40$

Gọi $H = \sum_{i=9}^{100} \frac{1}{i}$. Ta sẽ tính gần đúng:

$H \approx \ln(100) - \ln(8) \approx \ln\left(\frac{100}{8}\right) = \ln(12.5) \approx 2.5257$

Vậy:

$\frac{A}{B} \approx 5 \cdot \frac{4186}{2.5257} + 40 \approx 5 \cdot 1657.36 + 40 \approx 8286.8 + 40 = 8326.8$

---

$\box{\frac{A}{B} \approx 8327}$