Ta gọi:

- \( A \): số kẹo của An
- \( B \): số kẹo của Bình
- \( C \): số kẹo của Chi

Biết:
\[
A + B + C = 77 \tag{1}
\]
\[
\frac{2}{3}A = \frac{6}{5}B \tag{2}
\]
\[
\frac{2}{3}A = \frac{9}{5}C \tag{3}
\]

Biến đổi (2) và (3)

Từ (2):
\[
\frac{2}{3}A = \frac{6}{5}B \Rightarrow A = \frac{6}{5} \cdot \frac{3}{2}B = \frac{18}{10}B = \frac{9}{5}B \Rightarrow B = \frac{5}{9}A \tag{4}
\]

Từ (3):
\[
\frac{2}{3}A = \frac{9}{5}C \Rightarrow A = \frac{9}{5} \cdot \frac{3}{2}C = \frac{27}{10}C \Rightarrow C = \frac{10}{27}A \tag{5}
\]

Thay (4) và (5) vào (1)

\[
A + \frac{5}{9}A + \frac{10}{27}A = 77
\]

Quy đồng:

\[
\left(1 + \frac{5}{9} + \frac{10}{27}\right)A = 77
\]

\[
\left(\frac{27}{27} + \frac{15}{27} + \frac{10}{27}\right)A = \frac{52}{27}A = 77
\]

\[
A = \frac{77 \cdot 27}{52} = \frac{2079}{52} = 39.98... \quad \text{(không tròn số!)}
\]

Cách khác: đặt ẩn đơn giản theo tỉ lệ

Ta có:
\[
\frac{2}{3}A = \frac{6}{5}B = \frac{9}{5}C
\]

Đặt:
\[
\frac{2}{3}A = \frac{6}{5}B = \frac{9}{5}C = k
\]

⇒
\[
A = \frac{3}{2}k,\quad B = \frac{5}{6}k,\quad C = \frac{5}{9}k
\]

Tổng:
\[
A + B + C = \frac{3}{2}k + \frac{5}{6}k + \frac{5}{9}k = 77
\]

Quy đồng mẫu:

\[
\left(\frac{27}{18} + \frac{15}{18} + \frac{10}{18}\right)k = \frac{52}{18}k = 77
\Rightarrow k = \frac{77 \cdot 18}{52} = \frac{1386}{52} = 26.65...
\]

➡ Không ra số nguyên → lỗi ở tỉ lệ gốc

Giải lại chính xác hơn — nhân chéo từ ban đầu

Từ đề:
\[
\frac{2}{3}A = \frac{6}{5}B \Rightarrow 10A = 18B \Rightarrow 5A = 9B \Rightarrow \boxed{A = \frac{9}{5}B}
\]
\[
\frac{2}{3}A = \frac{9}{5}C \Rightarrow 10A = 27C \Rightarrow \boxed{A = \frac{27}{10}C}
\]

→ Bây giờ ta đặt A là bội chung của 9 và 27, chọn \( A = 27 \) cho dễ:

- \( A = 27 \)
- \( B = \frac{5}{9} \cdot 27 = 15 \)
- \( C = \frac{10}{27} \cdot 27 = 10 \)

Tổng:
\[
A + B + C = 27 + 15 + 10 = \boxed{52 \ne 77}
\]

→ Nhân tỉ lệ lên: thử gấp 77/52 = 1.48 → thử nhân 2 lên:

→ Thử \( A = 54 \)

- \( B = \frac{5}{9} \cdot 54 = 30 \)
- \( C = \frac{10}{27} \cdot 54 = 20 \)

Tổng:
\[
54 + 30 + 20 = \boxed{104}
\] → chưa đúng

→ Thử \( A = 36 \)

- \( B = \frac{5}{9} \cdot 36 = 20 \)
- \( C = \frac{10}{27} \cdot 36 = 13.33 \)

→ Sai

→ Thử \( A = 45 \)

- \( B = \frac{5}{9} \cdot 45 = 25 \)
- \( C = \frac{10}{27} \cdot 45 = 16.666 \)

→ Không tròn

Giải bằng phương pháp tỉ số:

Gọi số kẹo của An, Bình, Chi lần lượt tỉ lệ với:
- \( A = 27 \) phần
- \( B = 15 \) phần
- \( C = 10 \) phần
(từ tỉ lệ: \( A:B:C = \frac{9}{5}B : B : \frac{10}{27}A = 27:15:10 \))

Tổng phần:
\[
27 + 15 + 10 = 52 \text{ phần}
\Rightarrow \frac{77}{52} = 1,48... \Rightarrow nhân cả lên 2 lần:
\]

\[
A = 27 \times 2 = 54,\quad B = 15 \times 2 = 30,\quad C = 10 \times 2 = 20
\Rightarrow \boxed{54 + 30 + 20 = 104 \ne 77}
\]

→ Vậy phải tìm số đúng để tổng bằng 77
Lấy tỉ lệ:
\[
A = 27x,\quad B = 15x,\quad C = 10x
\Rightarrow 27x + 15x + 10x = 52x = 77 \Rightarrow x = \frac{77}{52}
\]

⇒
\[
A = 27x = \frac{2079}{52} \quad \text{(không chia hết)}
\]