Ta gọi:

- $A$: số kẹo của An
- $B$: số kẹo của Bình
- $C$: số kẹo của Chi

Biết:
$A + B + C = 77 \tag{1}$
$\frac{2}{3}A = \frac{6}{5}B \tag{2}$
$\frac{2}{3}A = \frac{9}{5}C \tag{3}$

Biến đổi (2) và (3)

Từ (2):
$\frac{2}{3}A = \frac{6}{5}B \Rightarrow A = \frac{6}{5} \cdot \frac{3}{2}B = \frac{18}{10}B = \frac{9}{5}B \Rightarrow B = \frac{5}{9}A \tag{4}$

Từ (3):
$\frac{2}{3}A = \frac{9}{5}C \Rightarrow A = \frac{9}{5} \cdot \frac{3}{2}C = \frac{27}{10}C \Rightarrow C = \frac{10}{27}A \tag{5}$

Thay (4) và (5) vào (1)

$A + \frac{5}{9}A + \frac{10}{27}A = 77$

Quy đồng:

$\left(1 + \frac{5}{9} + \frac{10}{27}\right)A = 77$

$\left(\frac{27}{27} + \frac{15}{27} + \frac{10}{27}\right)A = \frac{52}{27}A = 77$

$A = \frac{77 \cdot 27}{52} = \frac{2079}{52} = 39.98... \quad \text{(không tròn số!)}$

Cách khác: đặt ẩn đơn giản theo tỉ lệ

Ta có:
$\frac{2}{3}A = \frac{6}{5}B = \frac{9}{5}C$

Đặt:
$\frac{2}{3}A = \frac{6}{5}B = \frac{9}{5}C = k$

⇒
$A = \frac{3}{2}k,\quad B = \frac{5}{6}k,\quad C = \frac{5}{9}k$

Tổng:
$A + B + C = \frac{3}{2}k + \frac{5}{6}k + \frac{5}{9}k = 77$

Quy đồng mẫu:

$\left(\frac{27}{18} + \frac{15}{18} + \frac{10}{18}\right)k = \frac{52}{18}k = 77 \Rightarrow k = \frac{77 \cdot 18}{52} = \frac{1386}{52} = 26.65...$

➡ Không ra số nguyên → lỗi ở tỉ lệ gốc

Giải lại chính xác hơn — nhân chéo từ ban đầu

Từ đề:
$\frac{2}{3}A = \frac{6}{5}B \Rightarrow 10A = 18B \Rightarrow 5A = 9B \Rightarrow \boxed{A = \frac{9}{5}B}$
$\frac{2}{3}A = \frac{9}{5}C \Rightarrow 10A = 27C \Rightarrow \boxed{A = \frac{27}{10}C}$

→ Bây giờ ta đặt A là bội chung của 9 và 27, chọn $A = 27$ cho dễ:

- $A = 27$
- $B = \frac{5}{9} \cdot 27 = 15$
- $C = \frac{10}{27} \cdot 27 = 10$

Tổng:
$A + B + C = 27 + 15 + 10 = \boxed{52 \ne 77}$

→ Nhân tỉ lệ lên: thử gấp 77/52 = 1.48 → thử nhân 2 lên:

→ Thử $A = 54$

- $B = \frac{5}{9} \cdot 54 = 30$
- $C = \frac{10}{27} \cdot 54 = 20$

Tổng:
$54 + 30 + 20 = \boxed{104}$ → chưa đúng

→ Thử $A = 36$

- $B = \frac{5}{9} \cdot 36 = 20$
- $C = \frac{10}{27} \cdot 36 = 13.33$

→ Sai

→ Thử $A = 45$

- $B = \frac{5}{9} \cdot 45 = 25$
- $C = \frac{10}{27} \cdot 45 = 16.666$

→ Không tròn

Giải bằng phương pháp tỉ số:

Gọi số kẹo của An, Bình, Chi lần lượt tỉ lệ với:
- $A = 27$ phần
- $B = 15$ phần
- $C = 10$ phần
(từ tỉ lệ: $A:B:C = \frac{9}{5}B : B : \frac{10}{27}A = 27:15:10$)

Tổng phần:
$27 + 15 + 10 = 52 \text{ phần} \Rightarrow \frac{77}{52} = 1,48... \Rightarrow nhân cả lên 2 lần:$

$A = 27 \times 2 = 54,\quad B = 15 \times 2 = 30,\quad C = 10 \times 2 = 20 \Rightarrow \boxed{54 + 30 + 20 = 104 \ne 77}$

→ Vậy phải tìm số đúng để tổng bằng 77
Lấy tỉ lệ:
$A = 27x,\quad B = 15x,\quad C = 10x \Rightarrow 27x + 15x + 10x = 52x = 77 \Rightarrow x = \frac{77}{52}$

⇒
$A = 27x = \frac{2079}{52} \quad \text{(không chia hết)}$