Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Để giải phương trình \( p + q^2 = 4r^2 \), trong đó \( p, q, r \) là các số nguyên tố, ta sẽ xem xét một số trường hợp.

1. Xét phương trình cho các số nguyên tố nhỏ:

- Do \( 4r^2 \) là một số chẵn (bất kỳ số mấy thì bình phương cũng là số chẵn, và nhân với 4 sẽ cho ra số chẵn), nên \( p + q^2 \) cũng phải là số chẵn. Điều này có nghĩa là \( p \) và \( q^2 \) phải cùng chẵn hoặc cùng lẻ. Tuy nhiên, số nguyên tố duy nhất là số chẵn là 2.

2. Xét trường hợp \( q = 2 \), vì đây là số nguyên tố chẵn duy nhất:

- Nếu \( q = 2 \), phương trình sẽ trở thành:
\[
p + 2^2 = 4r^2
\]
\[
p + 4 = 4r^2
\]
\[
p = 4r^2 - 4 = 4(r^2 - 1)
\]

- Để \( p \) là một số nguyên tố, \( 4(r^2 - 1) \) phải là số nguyên tố. Điều này chỉ có thể xảy ra nếu \( r^2 - 1 = 1 \) (vì nếu \( r^2 - 1 \) lớn hơn hoặc bằng 2 thì \( p \) không phải là số nguyên tố, vì nó sẽ chia hết cho 4).

- Từ \( r^2 - 1 = 1 \), ta có \( r^2 = 2 \), và do đó, \( r = 1 \) (r không thể là một nguyên tố).

3. Xét tiếp trường hợp khác với \( q \):
- Nếu \( q \) khác 2, có thể là số nguyên tố lẻ như 3, 5, 7, v.v., thì \( q^2 \) sẽ là số lẻ, và \( p \) cũng sẽ phải là số lẻ, khiến cho tổng \( p + q^2 \) là số chẵn.

4. Các gợi ý có thể:
- Thử một số nguyên tố lẻ cho \( q \).
- Trong trường hợp \( q = 3 \):
\[
p + 3^2 = 4r^2 \Rightarrow p + 9 = 4r^2 \Rightarrow p = 4r^2 - 9
\]
- Cần thử các giá trị của \( r \):
- Nếu \( r = 2 \):
\[
p = 4(2^2) - 9 = 16 - 9 = 7 \text{ (p là số nguyên tố)}
\]
- Từ đó, một bộ giá trị đúng sẽ là \((p, q, r) = (7, 3, 2)\).

5. Kết luận:
- Một bộ số nguyên tố thoả mãn phương trình \( p + q^2 = 4 r^2 \) là \( (7, 3, 2) \).
- Do đó, \( p = 7 \), \( q = 3 \), và \( r = 2 \).
- Kiểm tra:
\[
7 + 3^2 = 7 + 9 = 16,
\]
\[
4 \times 2^2 = 4 \times 4 = 16
\]
\[
16 = 16
\]
- Đúng vậy.

Giá trị của \( p, q, r \) là:
\[
(p, q, r) = (7, 3, 2)
\]

...Xem thêm

Answer 2