của AH .Đường thẳng vuông góc với BK tại K cắt AC tại N
a, chứng mình CDHE và BKEN là các tứ giác nội tiếp
b, chứng minh góc ECB = góc KNB , từ đó suy ra BK/BN = BE/BC
Quảng cáo
4 câu trả lời 615
a) Chứng minh CDHE và BKEN là các tứ giác nội tiếp
Chứng minh CDHE nội tiếp
- Ta có:
- AD⊥BC ⇒ ∠ADC=90∘
- BE⊥AC ⇒ ∠BEH=90∘
→ ∠ADC+∠HEB=180∘
⇒ Tứ giác CDHE có tổng 2 góc đối là 180∘
⇒ CDHE là tứ giác nội tiếp
Chứng minh BKEN nội tiếp
- Ta có:
- BK⊥KN (giả thiết)
- ⇒ ∠BKN=90∘
- BE là đường cao ⇒ ∠BEA=90∘
→ Nếu ta chứng minh 2 góc này là góc kề bù trong tứ giác BKEN
→ ∠BKN+∠BEA=180∘
⇒ BKEN là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh ∠ECB=∠KNB, suy ra BKBN=BEBC
Chứng minh ∠ECB=∠KNB
- Tứ giác BKEN nội tiếp ⇒ góc nội tiếp chắn cung bằng nhau
⇒ ∠KNB=∠KEB
- Xét tam giác ABC nội tiếp đường tròn ⇒
∠ECB=∠KEB (vì cùng chắn cung EB)
⇒ ∠ECB=∠KNB
Suy ra tỉ số BKBN=BEBC
Xét hai tam giác:
- △KNB và △CEB
- Có:
- ∠KNB=∠CEB (đã chứng minh)
- Chung góc tại B
⇒ 2 tam giác đồng dạng △KNB∼△CEB
⇒ BKBN=BEBC
a)
- CDHE và BKEN là tứ giác nội tiếp
b)
- ∠ECB=∠KNB
- BKBN=BEBC
a. Chứng minh CDHE và BKEN là các tứ giác nội tiếp
Để chứng minh CDHE và BKEN là các tứ giác nội tiếp, ta cần chứng minh rằng các điểm của mỗi tứ giác nằm trên cùng một đường tròn.
Tứ giác CDHE:
-Tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), nên góc CBA và góc CAE có mối liên hệ đặc biệt (cùng chắn một cung của đường tròn).
-AD là đường cao, và BE cũng là đường cao của tam giác ABC. Các đường cao này sẽ cắt nhau tại H, tức là H là trực tâm của tam giác ABC.
-Dễ dàng nhận thấy rằng C, D, H, E đều nằm trên một đường tròn, bởi vì các góc liên quan đến các cặp điểm này có mối quan hệ đặc biệt trong tam giác nội tiếp.
Tứ giác BKEN:
-Chứng minh tương tự, B, K, E, N đều nằm trên một đường tròn. Do các góc trong tam giác ABC có mối quan hệ đồng dạng với các góc được tạo bởi các đường cao, và các điểm B, K, E, N nằm trên cùng một vòng tròn nhờ vào sự tương tác của các đường cao và các góc vuông tại các điểm này.
b. Chứng minh góc ECB = góc KNB, từ đó suy ra BK/BN = BE/BC
Chứng minh góc ECB = góc KNB:
-K là trung điểm của AH, và ta có AD là đường cao, nên AD vuông góc với BC.
-K là trung điểm của đoạn thẳng AH, do đó BK vuông góc với AC tại K.
-Ta xét góc ECB và góc KNB:
-ECB là góc tạo thành bởi đường thẳng BE và AC.
-KNB là góc tạo thành bởi đường thẳng BK và AC.
-Do tính chất đối xứng và tương quan góc trong tam giác vuông, ta có góc ECB = góc KNB.
Suy ra BK/BN = BE/BC:
-Từ sự đồng dạng của các tam giác BKC và BEC, ta có tỷ lệ:
BKBN = BEBC
Quảng cáo
Câu hỏi hot cùng chủ đề
-
240663
-
72291
-
Hỏi từ APP VIETJACK50110
-
44730