Để giải bài toán tìm \(n\) biết \(1 + 2 + 3 + 4 + ... + n = \overline{aaa}\), ta sẽ thực hiện các bước sau:

**Bước 1: Xác định công thức tổng của dãy số tự nhiên liên tiếp**

Tổng của dãy số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến \(n\) được tính theo công thức:
\[
S_n = \frac{n(n+1)}{2}
\]

**Bước 2: Biến đổi \(\overline{aaa}\)**

Số \(\overline{aaa}\) có thể được viết dưới dạng:
\[
\overline{aaa} = a \times 111 = a \times 3 \times 37
\]
trong đó \(a\) là một chữ số từ 1 đến 9.

**Bước 3: Thiết lập phương trình**

Ta có phương trình:
\[
\frac{n(n+1)}{2} = a \times 3 \times 37
\]
\[
n(n+1) = a \times 6 \times 37 = a \times 222
\]

**Bước 4: Tìm giá trị của \(a\) và \(n\)**

Ta cần tìm một giá trị của \(a\) sao cho \(n(n+1) = a \times 222\) có nghiệm nguyên \(n\). Vì \(n\) và \(n+1\) là hai số tự nhiên liên tiếp, ta cần tìm \(a\) sao cho \(a \times 222\) phân tích được thành tích của hai số tự nhiên liên tiếp.

Xét các trường hợp của \(a\):
- Nếu \(a = 1\), \(n(n+1) = 222\). Vì \(14 \times 15 = 210\) và \(15 \times 16 = 240\), không có nghiệm \(n\) nguyên.
- Nếu \(a = 2\), \(n(n+1) = 444\). Vì \(21 \times 22 = 462\), không có nghiệm \(n\) nguyên.
- Nếu \(a = 3\), \(n(n+1) = 666\). Vì \(25 \times 26 = 650\) và \(26 \times 27 = 702\), không có nghiệm \(n\) nguyên.
- Nếu \(a = 4\), \(n(n+1) = 888\). Vì \(29 \times 30 = 870\) và \(30 \times 31 = 930\), không có nghiệm \(n\) nguyên.
- Nếu \(a = 5\), \(n(n+1) = 1110\). Vì \(33 \times 34 = 1122\), không có nghiệm \(n\) nguyên.
- Nếu \(a = 6\), \(n(n+1) = 1332\). Vì \(36 \times 37 = 1332\), ta có \(n = 36\).

Vậy, ta tìm được \(n = 36\) và \(a = 6\).

**Kết luận:**
\[
n = 36
\]

S = n * (n + 1) / 2