Để giải bài toán tìm $n$ biết $1 + 2 + 3 + 4 + ... + n = \overline{aaa}$, ta sẽ thực hiện các bước sau:

**Bước 1: Xác định công thức tổng của dãy số tự nhiên liên tiếp**

Tổng của dãy số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến $n$ được tính theo công thức:
$S_n = \frac{n(n+1)}{2}$

**Bước 2: Biến đổi $\overline{aaa}$**

Số $\overline{aaa}$ có thể được viết dưới dạng:
$\overline{aaa} = a \times 111 = a \times 3 \times 37$
trong đó $a$ là một chữ số từ 1 đến 9.

**Bước 3: Thiết lập phương trình**

Ta có phương trình:
$\frac{n(n+1)}{2} = a \times 3 \times 37$
$n(n+1) = a \times 6 \times 37 = a \times 222$

**Bước 4: Tìm giá trị của $a$ và $n$**

Ta cần tìm một giá trị của $a$ sao cho $n(n+1) = a \times 222$ có nghiệm nguyên $n$. Vì $n$ và $n+1$ là hai số tự nhiên liên tiếp, ta cần tìm $a$ sao cho $a \times 222$ phân tích được thành tích của hai số tự nhiên liên tiếp.

Xét các trường hợp của $a$:
- Nếu $a = 1$, $n(n+1) = 222$. Vì $14 \times 15 = 210$ và $15 \times 16 = 240$, không có nghiệm $n$ nguyên.
- Nếu $a = 2$, $n(n+1) = 444$. Vì $21 \times 22 = 462$, không có nghiệm $n$ nguyên.
- Nếu $a = 3$, $n(n+1) = 666$. Vì $25 \times 26 = 650$ và $26 \times 27 = 702$, không có nghiệm $n$ nguyên.
- Nếu $a = 4$, $n(n+1) = 888$. Vì $29 \times 30 = 870$ và $30 \times 31 = 930$, không có nghiệm $n$ nguyên.
- Nếu $a = 5$, $n(n+1) = 1110$. Vì $33 \times 34 = 1122$, không có nghiệm $n$ nguyên.
- Nếu $a = 6$, $n(n+1) = 1332$. Vì $36 \times 37 = 1332$, ta có $n = 36$.

Vậy, ta tìm được $n = 36$ và $a = 6$.

**Kết luận:**
$n = 36$

S = n * (n + 1) / 2