Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng bước như sau:

## a) Chứng minh rằng: EM  BC

**Chứng minh:**

1. Xét tam giác ABE và tam giác MBE, ta có:

* BA = BM (giả thiết)
* \( \angle ABE = \angle MBE \) (BE là tia phân giác của \( \angle ABC \))
* BE là cạnh chung

\(\Rightarrow\) ∆ABE = ∆MBE (c-g-c)

2. Từ ∆ABE = ∆MBE, suy ra:

* \( \angle BAE = \angle BME \) (hai góc tương ứng)

Mà \( \angle BAE = 90^\circ \) (tam giác ABC vuông tại A)

\(\Rightarrow\) \( \angle BME = 90^\circ \)

Vậy, EM  BC.

## b) Gọi I là giao điểm của AM và BE. Chứng minh rằng I là trung điểm của AM

**Chứng minh:**

1. Xét tam giác ABM, ta có:

* BA = BM (giả thiết)

\(\Rightarrow\) Tam giác ABM cân tại B

2. Vì BE là tia phân giác của \( \angle ABC \) trong tam giác cân ABM, nên BE đồng thời là đường trung tuyến của tam giác ABM.

\(\Rightarrow\) I là trung điểm của AM.

## c) Kẻ AH  BC. Chứng minh rằng AM là phân giác của HAC

**Chứng minh:**

1. Xét tam giác vuông AHC, ta có:

\( \angle HAC + \angle C = 90^\circ \)

2. Xét tam giác vuông ABC, ta có:

\( \angle ABC + \angle C = 90^\circ \)

3. Từ (1) và (2) suy ra:

\( \angle HAC = 90^\circ - \angle C \)
\( \angle ABC = 90^\circ - \angle C \)

\(\Rightarrow\) \( \angle HAC = \angle ABC \)

4. Ta có: \( \angle BAM = \angle BMA \) (do tam giác ABM cân tại B)

Mà \( \angle ABC = 180^\circ - (\angle BAM + \angle BMA) = 180^\circ - 2\angle BMA \)

\(\Rightarrow\) \( \angle BMA = \frac{180^\circ - \angle ABC}{2} = 90^\circ - \frac{\angle ABC}{2} \)

5. Vì BE là tia phân giác của \( \angle ABC \) nên \( \angle ABE = \frac{\angle ABC}{2} \)

6. Xét tam giác ABI, ta có:

\( \angle AIB = 180^\circ - (\angle BAI + \angle ABI) = 180^\circ - (\angle BAM + \frac{\angle ABC}{2}) \)

7. Ta có: \( \angle AMI = \angle AIB \) (đối đỉnh)

\(\Rightarrow\) \( \angle AMI = 180^\circ - (\angle BAM + \frac{\angle ABC}{2}) \)

8. Xét tam giác AMC, ta có:

\( \angle MAC = \angle HAC - \angle HAM \)

9. Ta cần chứng minh \( \angle HAM = \angle MAC \), hay AM là phân giác của \( \angle HAC \)

Ta có: \( \angle HAM = \angle BAM - \angle BAH \)

Mà \( \angle BAH = 90^\circ - \angle ABC \)

\(\Rightarrow\) \( \angle HAM = \angle BAM - (90^\circ - \angle ABC) \)

Để chứng minh AM là phân giác của \( \angle HAC \), ta cần chứng minh \( \angle HAM = \angle MAC \)

Tuy nhiên, với các dữ kiện đã chứng minh, việc chứng minh trực tiếp \( \angle HAM = \angle MAC \) là khá phức tạp. Ta có thể sử dụng phương pháp khác hoặc kiểm tra lại các bước chứng minh trên để đảm bảo tính chính xác.