Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng bước như sau:

## a) Chứng minh rằng: EM  BC

**Chứng minh:**

1. Xét tam giác ABE và tam giác MBE, ta có:

* BA = BM (giả thiết)
* $\angle ABE = \angle MBE$ (BE là tia phân giác của $\angle ABC$)
* BE là cạnh chung

$\Rightarrow$ ∆ABE = ∆MBE (c-g-c)

2. Từ ∆ABE = ∆MBE, suy ra:

* $\angle BAE = \angle BME$ (hai góc tương ứng)

Mà $\angle BAE = 90^\circ$ (tam giác ABC vuông tại A)

$\Rightarrow$ $\angle BME = 90^\circ$

Vậy, EM  BC.

## b) Gọi I là giao điểm của AM và BE. Chứng minh rằng I là trung điểm của AM

**Chứng minh:**

1. Xét tam giác ABM, ta có:

* BA = BM (giả thiết)

$\Rightarrow$ Tam giác ABM cân tại B

2. Vì BE là tia phân giác của $\angle ABC$ trong tam giác cân ABM, nên BE đồng thời là đường trung tuyến của tam giác ABM.

$\Rightarrow$ I là trung điểm của AM.

## c) Kẻ AH  BC. Chứng minh rằng AM là phân giác của HAC

**Chứng minh:**

1. Xét tam giác vuông AHC, ta có:

$\angle HAC + \angle C = 90^\circ$

2. Xét tam giác vuông ABC, ta có:

$\angle ABC + \angle C = 90^\circ$

3. Từ (1) và (2) suy ra:

$\angle HAC = 90^\circ - \angle C$
$\angle ABC = 90^\circ - \angle C$

$\Rightarrow$ $\angle HAC = \angle ABC$

4. Ta có: $\angle BAM = \angle BMA$ (do tam giác ABM cân tại B)

Mà $\angle ABC = 180^\circ - (\angle BAM + \angle BMA) = 180^\circ - 2\angle BMA$

$\Rightarrow$ $\angle BMA = \frac{180^\circ - \angle ABC}{2} = 90^\circ - \frac{\angle ABC}{2}$

5. Vì BE là tia phân giác của $\angle ABC$ nên $\angle ABE = \frac{\angle ABC}{2}$

6. Xét tam giác ABI, ta có:

$\angle AIB = 180^\circ - (\angle BAI + \angle ABI) = 180^\circ - (\angle BAM + \frac{\angle ABC}{2})$

7. Ta có: $\angle AMI = \angle AIB$ (đối đỉnh)

$\Rightarrow$ $\angle AMI = 180^\circ - (\angle BAM + \frac{\angle ABC}{2})$

8. Xét tam giác AMC, ta có:

$\angle MAC = \angle HAC - \angle HAM$

9. Ta cần chứng minh $\angle HAM = \angle MAC$, hay AM là phân giác của $\angle HAC$

Ta có: $\angle HAM = \angle BAM - \angle BAH$

Mà $\angle BAH = 90^\circ - \angle ABC$

$\Rightarrow$ $\angle HAM = \angle BAM - (90^\circ - \angle ABC)$

Để chứng minh AM là phân giác của $\angle HAC$, ta cần chứng minh $\angle HAM = \angle MAC$

Tuy nhiên, với các dữ kiện đã chứng minh, việc chứng minh trực tiếp $\angle HAM = \angle MAC$ là khá phức tạp. Ta có thể sử dụng phương pháp khác hoặc kiểm tra lại các bước chứng minh trên để đảm bảo tính chính xác.