Chào bạn, dưới đây là lời giải chi tiết cho bài toán của bạn:

a) So sánh diện tích hai tam giác ABK và BEK:

Hai tam giác ABK và BEK có chung đáy BK.
Chiều cao từ đỉnh A đến đáy BK bằng chiều cao từ đỉnh E đến đáy BK (vì AD // BC).
Do đó, diện tích tam giác ABK bằng diện tích tam giác BEK.
b) Tính diện tích hình EMKN:

Chứng minh tam giác AME = tam giác CNK:

AB = CD (cạnh đối hình bình hành)
AE = CK (do AD = BC và DE = BK)
Góc EAM = góc KCN (góc đối hình bình hành)
Suy ra tam giác AME = tam giác CNK (c.g.c)
Suy ra diện tích tam giác AME = diện tích tam giác CNK = 6,8 cm²
Chứng minh tam giác DNE = tam giác BMK:

AD = BC (cạnh đối hình bình hành)
DE = BK (gt)
Góc EDN = góc KBM (góc đối hình bình hành)
Suy ra tam giác DNE = tam giác BMK (c.g.c)
Suy ra diện tích tam giác DNE = diện tích tam giác BMK = 3,1 cm²
Tính diện tích hình bình hành ABCD:

Diện tích ABCD = diện tích AME + diện tích BMK + diện tích CNK + diện tích DNE + diện tích EMKN
Diện tích ABCD = 6,8 + 3,1 + 6,8 + 3,1 + diện tích EMKN
Diện tích ABCD = 19,8 + diện tích EMKN
Tính diện tích tam giác ABK và tam giác CDK:

Diện tích tam giác ABK = diện tích tam giác CDK = 1/2 diện tích ABCD (vì cùng đáy và chiều cao)
Tính diện tích tam giác AME và tam giác DNE:

Diện tích tam giác AME = 6,8 cm²
Diện tích tam giác DNE = 3,1 cm²
Tính diện tích hình EMKN:

Diện tích EMKN = diện tích ABCD - diện tích AME - diện tích BMK - diện tích CNK - diện tích DNE
Diện tích EMKN = (2 * diện tích ABK) - 6,8 - 3,1 - 6,8 - 3,1
Diện tích EMKN = (2 * (6,8 + 3,1 + diện tích AMK)) - 19,8
Diện tích EMKN = 2 * (9,9 + diện tích AMK) - 19,8
Diện tích EMKN = 19,8 + 2 * diện tích AMK - 19,8
Diện tích EMKN = 2 * diện tích AMK
Vì không có thông tin về diện tích tam giác AMK, nên không thể tính chính xác diện tích hình EMKN.

Tuy nhiên, nếu giả sử rằng diện tích tam giác AMK = diện tích tam giác DNC = 3.1 cm², thì:

Diện tích EMKN = 2 * 3.1 = 6.2 cm²
Vậy, nếu diện tích tam giác AMK = diện tích tam giác DNC = 3.1 cm², thì diện tích hình EMKN là 6.2 cm².

Để so sánh diện tích hai tam giác $\triangle ABK$ và $\triangle EKB$, cũng như tính diện tích hình $EMKN$, bạn cần áp dụng một số tính chất của hình bình hành và các tam giác.

 Bước 1: Tính diện tích tam giác

- Ta có:
- Diện tích tam giác $\triangle AMB = 6 \, \text{cm}^2$
- Diện tích tam giác $\triangle DNC = 3.1 \, \text{cm}^2$

Diện tích tam giác $\triangle AMB$ và $\triangle DNC$ có chung một cạnh $AB$ (hoặc $CD$), và chiều cao từ $M$ đến $AD$ cũng bằng chiều cao từ $N$ đến $CD$. Vì vậy:

$\frac{S_{AMB}}{S_{DNC}} = \frac{AB}{CD} = 2,\quad \text{nên } \frac{S_{DNC}}{S_{AMB}} = \frac{3.1}{6} \approx 0.5167$

Bước 2: Phân tích các tam giác

Ta có vài điểm quan trọng sau:
- Diện tích của tam giác $\triangle EKB$ có thể tính bằng cách lấy tổng diện tích của hai tam giác con:
- $\triangle AMB$
- $\triangle DNC$

Từ hình bình hành, ta biết rằng các tam giác $\triangle AMB$ và $\triangle DNC$ nằm trong các tam giác lớn hơn $\triangle ABK$ và một phần nào đó của hình bình hành.

 Bước 3: Tính diện tích hình $EMKN$

Để tính được diện tích của hình $EMKN$, ta cần:
- Biết rằng diện tích hình bình hành $ABCD$ được chia thành các tam giác.

Suy ra diện tích hình $EMKN$:
$S_{EMKN} = S_{AMB} + S_{DNC} - S_{EKB}$

Giả sử $S_{EKB} = S_{AMB} + S_{DNC} - S_{EMKN} \to S_{EKB}$ tương ứng với một phần nào của hình bình hành đã được chia ra.

Kết luận

Do không có đủ thông tin về các cạnh và chiều cao của tam giác $\triangle ABK$ và $\triangle EKB$, bạn có thể sử dụng tỷ lệ các diện tích tam giác mà bạn đã có để tìm diện tích hình $EMKN$.

- Diện tích hình $EMKN$ sẽ là:
$S_{EMKN} = S_{AMB} + S_{DNC} - S_{EKB}$
Nhưng cho đến khi bạn có thêm thông tin về các cạnh $EM$ và $KN$, chúng ta không thể tính diện tích chính xác của hình $EMKN$.

Bạn cần xác định $S_{EKB}$ cụ thể, và $S_{EMKN}$ sẽ được xác định từ kết quả của trong tương lai.