Để so sánh tổng sau với 3, ta sẽ tính tổng:

S=∑k=1011501k=1101+1102+⋯+1150S = \sum_{k=101}^{150} \frac{1}{k} = \frac{1}{101} + \frac{1}{102} + \cdots + \frac{1}{150}S=k=101∑150​k1​=1011​+1021​+⋯+1501​Điều này có thể được tính gần đúng bằng cách sử dụng một công thức gần đúng cho tổng các nghịch đảo của các số nguyên liên tiếp, dựa trên chuỗi hàm số điều hòa.

Tổng ∑k=ab1k\sum_{k=a}^b \frac{1}{k}∑k=ab​k1​ có thể xấp xỉ bằng sự chênh lệch giữa các giá trị của hàm số điều hòa Hb−HaH_b - H_aHb​−Ha​, với HnH_nHn​ là hàm số điều hòa, tính là tổng các nghịch đảo từ 1 đến nnn:

Hn=1+12+13+⋯+1nH_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n}Hn​=1+21​+31​+⋯+n1​Áp dụng vào trường hợp này, ta có:

S≈H150−H100S \approx H_{150} - H_{100}S≈H150​−H100​Tính toán giá trị của các hàm số điều hòa:

H150≈5.013H_{150} \approx 5.013H150​≈5.013
H100≈5.187H_{100} \approx 5.187H100​≈5.187
Do đó:

S≈H150−H100=5.013−5.187=−0.174S \approx H_{150} - H_{100} = 5.013 - 5.187 = -0.174S≈H150​−H100​=5.013−5.187=−0.174Vậy tổng ∑k=1011501k\sum_{k=101}^{150} \frac{1}{k}∑k=101150​k1​ là nhỏ hơn 3.
 
 
 
 

Để so sánh tổng sau với 3, ta sẽ tính tổng:

S=∑k=1011501k=1101+1102+⋯+1150S = \sum_{k=101}^{150} \frac{1}{k} = \frac{1}{101} + \frac{1}{102} + \cdots + \frac{1}{150}S=k=101∑150​k1​=1011​+1021​+⋯+1501​Điều này có thể được tính gần đúng bằng cách sử dụng một công thức gần đúng cho tổng các nghịch đảo của các số nguyên liên tiếp, dựa trên chuỗi hàm số điều hòa.

Tổng ∑k=ab1k\sum_{k=a}^b \frac{1}{k}∑k=ab​k1​ có thể xấp xỉ bằng sự chênh lệch giữa các giá trị của hàm số điều hòa Hb−HaH_b - H_aHb​−Ha​, với HnH_nHn​ là hàm số điều hòa, tính là tổng các nghịch đảo từ 1 đến nnn:

Hn=1+12+13+⋯+1nH_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n}Hn​=1+21​+31​+⋯+n1​Áp dụng vào trường hợp này, ta có:

S≈H150−H100S \approx H_{150} - H_{100}S≈H150​−H100​Tính toán giá trị của các hàm số điều hòa:

H150≈5.013H_{150} \approx 5.013H150​≈5.013
H100≈5.187H_{100} \approx 5.187H100​≈5.187
Do đó:

S≈H150−H100=5.013−5.187=−0.174S \approx H_{150} - H_{100} = 5.013 - 5.187 = -0.174S≈H150​−H100​=5.013−5.187=−0.174Vậy tổng ∑k=1011501k\sum_{k=101}^{150} \frac{1}{k}∑k=101150​k1​ là nhỏ hơn 3.