Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt xử lý từng mục một.

### a) So sánh AH và AB

Trong tam giác đều \( \Delta ABC \) (cân tại \( A \)), ta biết rằng \( AH \) là đường cao hạ từ đỉnh \( A \) xuống cạnh đáy \( BC \). Khi hạ đường cao, ta có:

- \( AH \) là đường vuông góc với cạnh \( BC \),
- Cạnh \( AB \) và cạnh \( AC \) là hai cạnh bên của tam giác đều.

Trong một tam giác, đường cao từ đỉnh tới cạnh đáy luôn nhỏ hơn hoặc bằng cạnh bên. Do đó, ta có:
\[
AH < AB \quad (\text{vì } H \text{ nằm trên } BC).
\]

### b) Chứng minh \( \Delta HAB = \Delta HAC \)

Để chứng minh rằng \( \Delta HAB \) đồng dạng với \( \Delta HAC \), ta có:

1. **Cạnh chung**: \( AH \) là cạnh chung của hai tam giác.
2. **Góc:**
- \( \angle HAB = \angle HAC \) (do \( AB = AC \) và \( \Delta ABC \) cân tại \( A \)).
- \( \angle AHB = \angle AHC = 90^\circ \) (do \( AH \) vuông góc với \( BC \)).

Từ hai yếu tố trên (một cạnh và hai góc tương ứng), ta có thể kết luận:
\[
\Delta HAB \cong \Delta HAC.
\]

### c) Chứng minh \( AD + DE > AC \)

Gọi \( D \) là một điểm trên đoạn thẳng \( AH \) và \( E \) là điểm trên tia đối của tia \( DB \) sao cho \( DE = DB \).

Từ định lý tam giác, chúng ta có:
\[
AD + DE > AE.
\]
Vì \( DE = DB \), do đó:
\[
AD + DB > AE.
\]

Vì \( A \) nằm bên ngoài đoạn \( BC \), nên:
\[
AE < AC.
\]

Vì vậy, chúng ta có:
\[
AD + DE > AC.
\]

### d) Chứng minh ba điểm \( H, K, E \) thẳng hàng

Gọi \( K \) là điểm nằm trên đoạn thẳng \( CD \) sao cho \( 3CK = 2CD \). Điều này có nghĩa là tỷ lệ giữa đoạn \( CK \) và đoạn \( CD \) là \( \frac{2}{5} \).

Ta sẽ làm rõ vị trí của điểm \( K \):
- Nếu \( CD = x \), thì \( CK = \frac{2}{5}x \) và \( KD = \frac{3}{5}x \).

Do \( H \) là một điểm trên đường thẳng này, và \( DE = DB \) cũng từ \( D \) có vị trí xác định dưới \( AH \), có thể sử dụng các tỉ lệ và định lý đồng dạng để chỉ ra rằng điểm \( E \) nằm trên cùng đường thẳng với \( H \) và \( K \).

Để kết luận, ba điểm \( H, K, E \) sẽ thẳng hàng khi có sự tương quan giữa các tỉ lệ và vị trí tương ứng từ \( D \) ra ngoài \( CD \).

Bằng các bước trên, ta đã hoàn thành các chứng minh cho từng mục trong bài toán.