### Câu 10:

Cho hai đường thẳng \( d: y = 2x + 3m \) và \( d': y = (2m + 1)x + 2m - 3 \). Ta cần tìm giá trị của \( m \) và \( k \) để:

1. **d và d' cắt nhau:**

   Hai đường thẳng sẽ cắt nhau khi chúng có hệ số góc khác nhau. Ta có:

   - Hệ số góc của \( d \) là \( 2 \) (từ phương trình \( y = 2x + 3m \)).

   - Hệ số góc của \( d' \) là \( 2m + 1 \) (từ phương trình \( y = (2m+1)x + 2m-3 \)).

   Để d và d' cắt nhau, hệ số góc của chúng phải khác nhau. Do đó, ta có điều kiện:

   \[

   2 \neq 2m + 1

   \]

   Giải bất phương trình:

   \[

   2m + 1 \neq 2

   \]

   \[

   2m \neq 1

   \]

   \[

   m \neq \frac{1}{2}

   \]

   Vì vậy, \( m \neq \frac{1}{2} \) là điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau.

2. **d và d' song song:**

   Hai đường thẳng song song khi chúng có cùng hệ số góc. Do đó, ta có điều kiện:

   \[

   2 = 2m + 1

   \]

   Giải phương trình:

   \[

   2m + 1 = 2

   \]

   \[

   2m = 1

   \]

   \[

   m = \frac{1}{2}

   \]

   Vậy \( m = \frac{1}{2} \) là điều kiện để hai đường thẳng song song.

3. **d và d' trùng nhau:**

   Hai đường thẳng trùng nhau khi không chỉ có cùng hệ số góc mà còn có cùng tung độ gốc. Do đó, ta cần đồng thời có điều kiện về hệ số góc và tung độ gốc:

   - Hệ số góc phải bằng nhau: \( 2 = 2m + 1 \), tức là \( m = \frac{1}{2} \).

   - Tung độ gốc của \( d \) là \( 3m \) và tung độ gốc của \( d' \) là \( 2m - 3 \). Ta cần \( 3m = 2m - 3 \), tức là:

     \[

     3m = 2m - 3

     \]

     \[

     m = -3

     \]

   Tuy nhiên, hai điều kiện này mâu thuẫn (không thể có \( m = \frac{1}{2} \) và \( m = -3 \) đồng thời), nên không tồn tại giá trị \( m \) sao cho hai đường thẳng trùng nhau.

### Câu 13:

Cho hai đường thẳng \( d: y = (m+6)x + 2 \) và \( d': y = m(3m+4)x - 5 \). Ta cần tìm \( m \) sao cho d song song với d'.

Để hai đường thẳng song song, chúng phải có cùng hệ số góc. Ta có:

- Hệ số góc của \( d \) là \( m + 6 \).

- Hệ số góc của \( d' \) là \( m(3m + 4) \).

Để chúng song song, ta có điều kiện:

\[

m + 6 = m(3m + 4)

\]

Giải phương trình này:

\[

m + 6 = 3m^2 + 4m

\]

\[

0 = 3m^2 + 3m - 6

\]

Chia phương trình cho 3:

\[

0 = m^2 + m - 2

\]

Giải phương trình bậc 2:

\[

m = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)}

\]

\[

m = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}

\]

\[

m = \frac{-1 \pm 3}{2}

\]

\[

m = 1 \quad \text{hoặc} \quad m = -2

\]

Vậy \( m = 1 \) hoặc \( m = -2 \) là điều kiện để hai đường thẳng song song.

### Câu 17:

Tìm \( a \) và \( b \) để đường thẳng \( d: y = ax + b \) đi qua điểm \( A(1, -2) \) và song song với đường thẳng \( d': y = -x - 2 \).

Để hai đường thẳng song song, chúng phải có cùng hệ số góc. Hệ số góc của \( d' \) là \( -1 \), do đó hệ số góc của \( d \) cũng phải là \( -1 \). Vậy \( a = -1 \).

Tiếp theo, đường thẳng \( d \) đi qua điểm \( A(1, -2) \), ta thay \( x = 1 \) và \( y = -2 \) vào phương trình của \( d \):

\[

-2 = -1(1) + b

\]

\[

-2 = -1 + b

\]

\[

b = -1

\]

Vậy phương trình của đường thẳng \( d \) là:

\[

d: y = -x - 1

\]

Do đó, \( a = -1 \) và \( b = -1 \).