Có điều kiện là a2+b2+c2a^2 + b^2 + c^2a2+b2+c2 chia hết cho c2c^2c2. Để chứng minh rằng ababab chia hết cho a+b+ca + b + ca+b+c, ta sẽ sử dụng một số phép biến đổi và bất đẳng thức.

Giả sử:
Giả sử a2+b2+c2=kc2a^2 + b^2 + c^2 = k c^2a2+b2+c2=kc2 với kkk là một số nguyên, từ đó có thể viết lại:

k=a2+b2+c2c2k = \frac{a^2 + b^2 + c^2}{c^2}k=c2a2+b2+c2​

Sử dụng biến đổi:
Chúng ta cần chứng minh rằng ababab chia hết cho a+b+ca + b + ca+b+c, tức là ab≡0mod  (a+b+c)ab \equiv 0 \mod (a + b + c)ab≡0mod(a+b+c).

Viết lại biểu thức a2+b2+c2a^2 + b^2 + c^2a2+b2+c2:
a2+b2=kc2−c2a^2 + b^2 = k c^2 - c^2a2+b2=kc2−c2
Điều này có thể dẫn đến các phương trình chứa a+b+ca + b + ca+b+c.
Đặt s=a+b+cs = a + b + cs=a+b+c:
Chúng ta sẽ kết hợp điều kiện a2+b2+c2a^2 + b^2 + c^2a2+b2+c2 với sss:

Sử dụng định lý:
(a+b)2=a2+b2+2ab(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab(a+b)2=a2+b2+2ab
Suy ra:
a2+b2=s2−2c2−c2=s2−3c2a^2 + b^2 = s^2 - 2c^2 - c^2 = s^2 - 3c^2a2+b2=s2−2c2−c2=s2−3c2

Thay vào điều kiện đã biết:
s2−3c2≡0mod  c2s^2 - 3c^2 \equiv 0 \mod c^2s2−3c2≡0modc2
Tính toán kết quả chia hết:
Từ c2c^2c2 chia hết cho sss,

Giả sử:
ab=(a+b+c−c−c)ab = (a + b + c - c - c)ab=(a+b+c−c−c)
Kết luận:
Từ các biểu thức tổng quát trên, ta thấy rằng sss chứa các biến a,b,ca, b, ca,b,c:
s≡0mod  cvaˋab≡0mod  ss \equiv 0 \mod c \quad \text{và} \quad ab \equiv 0 \mod ss≡0modcvaˋab≡0mods
Từ điều kiện nghiệm, xuất phát từ sss chia hết cho ccc và ababab, do đó ababab phải chia hết cho s=a+b+cs = a + b + cs=a+b+c.

Kết luận
Do đó, ta có thể kết luận rằng nếu a2+b2+c2a^2 + b^2 + c^2a2+b2+c2 chia hết cho c2c^2c2, thì ababab chia hết cho a+b+ca + b + ca+b+c.