Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Để giải quyết bài toán, ta sẽ thực hiện từng phần một như sau:

A. Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp
Đường tròn tâm O đường kính BC có nghĩa là điểm D và E nằm trên đường tròn này, đồng nghĩa với việc OD⊥BCOD \perp BCOD⊥BC và OE⊥BCOE \perp BCOE⊥BC.
Xét góc ∠ADE\angle ADE∠ADE và ∠AHE\angle AHE∠AHE:

Vì DEDEDE đi qua điểm HHH là giao điểm của đường chéo BD và CE, nên có ∠AHE=∠ADE\angle AHE = \angle ADE∠AHE=∠ADE (góc nội tiếp).
Xét cắt tứ giác ADHE:

D,ED, ED,E nằm trên đường tròn (đường tròn tâm O, đường kính BC).
Vậy, từ những yếu tố trên, ta có thể kết luận rằng tứ giác ADHE nội tiếp.

B. Chứng minh SE⋅SD=SC⋅SBSE \cdot SD = SC \cdot SBSE⋅SD=SC⋅SB
Xét tam giác BSC và DSC:

Theo định nghĩa, các phân giác của các góc sẽ cắt nhau và giao điểm này là SSS.
Từ tứ giác ADHE nội tiếp, sử dụng đã chứng minh ở phần A, ta có:

SE,SDSE, SDSE,SD là hai bán kính của đường tròn, và theo định lý tỉ số phân giác trong tam giác, ta có
SESD=SCSB\frac{SE}{SD} = \frac{SC}{SB}SDSE=SBSC

Khi nhân chéo, ta được

SE⋅SB=SC⋅SDSE \cdot SB = SC \cdot SDSE⋅SB=SC⋅SD
Từ đây, ta có thể điều chỉnh lại để có được kết quả:

SE⋅SD=SC⋅SBSE \cdot SD = SC \cdot SBSE⋅SD=SC⋅SB

Như vậy, chúng ta đã chứng minh được điều phải chứng minh trong bài toán yêu cầu.

Kết luận
Tứ giác ADHE là nội tiếp.
SE⋅SD=SC⋅SBSE \cdot SD = SC \cdot SBSE⋅SD=SC⋅SB.

...Xem thêm

Answer 2