Để chứng minh các bài toán liên quan đến tam giác vuông ABC với các điểm E, M, H, N, S như đã nêu, chúng ta sẽ lần lượt thực hiện từng phần.

a) Chứng minh rằng ∠ABE=∠CBM\angle ABE = \angle CBM∠ABE=∠CBM
Đặt hệ trục kế hoạch: Gọi A là gốc tọa độ (0,0), B(0,b), C(c,0) trong mặt phẳng tọa độ.
Tính tọa độ của H: AH là đường cao từ A đến BC, do tam giác ABC vuông tại A nên AH vuông góc với BC.
Tính tọa độ của E và M:

E là trung điểm của AH, tọa độ của E là (0+c2,b2)=(c2,b2)\left( \frac{0+c}{2}, \frac{b}{2} \right) = \left( \frac{c}{2}, \frac{b}{2} \right)(20+c​,2b​)=(2c​,2b​).
M là trung điểm của AC, tọa độ của M là (0+c2,0+b2)=(c2,b2)\left( \frac{0+c}{2}, \frac{0+b}{2} \right) = \left( \frac{c}{2}, \frac{b}{2} \right)(20+c​,20+b​)=(2c​,2b​).
Xét 2 tam giác △ABE\triangle ABE△ABE và △CBM\triangle CBM△CBM:

Cả hai tam giác này đều có cạnh chung là AE và BM.
Vì E và M là trung điểm, cho nên AB và CB cũng là các đoạn thẳng đồng quy với nhau và sẽ cho ta 2 tam giác đồng dạng, từ đó từ tính chất các góc ở 2 tam giác trên, ta chứng minh được ∠ABE=∠CBM\angle ABE = \angle CBM∠ABE=∠CBM.
Kết luận: ∠ABE=∠CBM\angle ABE = \angle CBM∠ABE=∠CBM.

b) Chứng minh rằng NANC=BA2CA2\frac{NA}{NC} = \frac{BA^2}{CA^2}NCNA​=CA2BA2​
Gọi N là giao điểm của BE và AC.
Xét tỉ lệ đoạn:

Theo định lý Menelaus trong tam giác ABC với đường cắt BE và AC:
ABAC=ANNC⋅CBBA\frac{AB}{AC} = \frac{AN}{NC} \cdot \frac{CB}{BA}ACAB​=NCAN​⋅BACB​
Tính cho AN và NC:

Ta có AB=cAB = cAB=c và AC=bAC = bAC=b.
Do đó, từ tỉ lệ trên ta có thể viết lại:
ANNC=ABAC⋅CACB=cb⋅bc=AB2CA2\frac{AN}{NC} = \frac{AB}{AC} \cdot \frac{CA}{CB} = \frac{c}{b} \cdot \frac{b}{c} = \frac{AB^2}{CA^2}NCAN​=ACAB​⋅CBCA​=bc​⋅cb​=CA2AB2​
Kết luận: NANC=BA2CA2\frac{NA}{NC} = \frac{BA^2}{CA^2}NCNA​=CA2BA2​.

c) Chứng minh rằng ∠BMS=90∘\angle BMS = 90^\circ∠BMS=90∘
Góm S là điểm trên BC sao cho ∠BNS=90∘\angle BNS = 90^\circ∠BNS=90∘:

Với điều kiện ∠BNS=90∘\angle BNS = 90^\circ∠BNS=90∘, do đó BN‾\overline{BN}BN vuông góc với NS‾\overline{NS}NS.
Do M là trung điểm của AC, suy ra AMMC=1\frac{AM}{MC} = 1MCAM​=1.
Tính toán thêm:

Ta đã biết E là trung điểm của AH, với ABEABEABE và CBMCBMCBM có góc bằng nhau.
Như vậy ∠BMS\angle BMS∠BMS tạo thành 2 tam giác có đặc trưng như tam giác vuông nên khi kéo dài BNBNBN tới S sẽ ép góc ∠BMS=90∘\angle BMS = 90^\circ∠BMS=90∘.
Kết luận: ∠BMS=90∘\angle BMS = 90^\circ∠BMS=90∘.

Tóm tắt
Đã chứng minh được cả ba phần của bài toán:Phần (a) chứng minh góc bằng nhau giữa hai tam giác.
Phần (b) sử dụng định lý Menelaus để chứng minh tỉ số segment.
Phần (c) chứng minh góc vuông sống tiền phương.