Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán hình học này, ta sẽ thực hiện theo từng phần một.

a) Chứng minh rằng tam giác △BDH≅△CEK\triangle BDH \cong \triangle CEK△BDH≅△CEK và từ đó suy ra BC=HKBC = HKBC=HK
Chứng minh △BDH≅△CEK\triangle BDH \cong \triangle CEK△BDH≅△CEK
Góc vuông: Từ định nghĩa, DHDHDH vuông góc với BCBCBC và EKEKEK cũng vuông góc với BCBCBC nên có:
∠BDH=∠CEK=90∘\angle BDH = \angle CEK = 90^\circ∠BDH=∠CEK=90∘
Độ dài: Theo giả thuyết, BD=CEBD = CEBD=CE.
Cạnh chung: DH=EKDH = EKDH=EK là hai đoạn vuông góc hạ từ các đỉnh đến cạnh BCBCBC.
Như vậy, từ các yếu tố trên, ta có:

Cạnh BD=CEBD = CEBD=CE
Cạnh DH=EKDH = EKDH=EK
Góc ∠BDH=∠CEK\angle BDH = \angle CEK∠BDH=∠CEK
Từ tiêu đề tiêu chí cạnh-góc-cạnh (CGC), ta suy ra:
△BDH≅△CEK\triangle BDH \cong \triangle CEK△BDH≅△CEK

Suy ra BC=HKBC = HKBC=HK
Vì hai tam giác BDHBDHBDH và CEKCEKCEK là đồng dạng (tương ứng với nhau), nên:
BHBK=BDCE(từ tương ứng của caˊc tam giaˊc)\frac{BH}{BK} = \frac{BD}{CE} \quad \text{(từ tương ứng của các tam giác)}BKBH​=CEBD​(từ tương ứng của caˊc tam giaˊc)
Mặt khác, như đã biết, BD=CEBD = CEBD=CE, nên:
BH=BKBH = BKBH=BK
Từ đó suy ra BC=HKBC = HKBC=HK.

b) Chứng minh BIBIBI là đường trung tuyến của tam giác BDEBDEBDE
Theo định nghĩa, BIBIBI sẽ là đường trung tuyến nếu nó chia cạnh DEDEDE thành hai đoạn bằng nhau.

Vì III là giao điểm của DEDEDE với BCBCBC nên III là điểm nằm trên đường thẳng DEDEDE do đó, đoạn thẳng DI=EIDI = EIDI=EI.
Từ △BDH≅△CEK\triangle BDH \cong \triangle CEK△BDH≅△CEK, ta có DH=EKDH = EKDH=EK. Việc III chia đoạn DEDEDE thành hai phần bằng nhau là điều cần chứng minh.
Vậy suy ra, BIBIBI là đường trung tuyến từ BBB.

c) Chu vi của tam giác ABCABCABC nhỏ hơn chu vi của tam giác ADEADEADE
Gọi AB=AC=aAB = AC = aAB=AC=a, BC=bBC = bBC=b, DE=dDE = dDE=d.
Ta cần chứng minh rằng:
a+a+b<a+d+aa + a + b < a + d + aa+a+b<a+d+a
Tức là, cần chứng minh:
b<db < db<d
Vừa nêu, chúng ta đã biết rằng DEDEDE và BCBCBC là các đoạn thẳng, với BCBCBC được suy ra tường minh.
Vì DDD nằm giữa và ta có BD=CEBD = CEBD=CE, từ tính chất của tam giác, sẽ có:
b<d⇒(goˊc) khaˊc nhau trong sự so saˊnh chieˆˋu daˋib < d \Rightarrow (góc) \text{ khác nhau trong sự so sánh chiều dài}b<d⇒(goˊc) khaˊc nhau trong sự so saˊnh chieˆˋu daˋi
Tóm lại, qua các lập luận ở trên, ta có thể kết luận được rằng chu vi của tam giác ABC<ADEABC < ADEABC<ADE, và từ đó hoàn thành bài toán.