Để chứng minh rằng các đa thức A(x)A(x)A(x) và B(x)B(x)B(x) không phụ thuộc vào giá trị của biến xxx, ta cần thực hiện rút gọn chúng và kiểm tra xem chúng có phải là hằng số hay không.

1. Rút gọn đa thức A(x)A(x)A(x):
Ta có:
A(x)=4x3−5x2+1−(4x3−x+2x2)+(7x2−x+8)A(x) = 4x^3 - 5x^2 + 1 - (4x^3 - x + 2x^2) + (7x^2 - x + 8)A(x)=4x3−5x2+1−(4x3−x+2x2)+(7x2−x+8)

Mở ngoặc trong biểu thức:
A(x)=4x3−5x2+1−4x3+x−2x2+7x2−x+8A(x) = 4x^3 - 5x^2 + 1 - 4x^3 + x - 2x^2 + 7x^2 - x + 8A(x)=4x3−5x2+1−4x3+x−2x2+7x2−x+8

Giờ ta nhóm lại các hạng tử tương tự:

Các hạng tử x3x^3x3:
4x3−4x3=04x^3 - 4x^3 = 04x3−4x3=0
Các hạng tử x2x^2x2:
−5x2−2x2+7x2=0-5x^2 - 2x^2 + 7x^2 = 0−5x2−2x2+7x2=0
Các hạng tử xxx:
x−x=0x - x = 0x−x=0
Các hạng tử hằng:
1+8=91 + 8 = 91+8=9
Vậy:
A(x)=0+0+0+9=9A(x) = 0 + 0 + 0 + 9 = 9A(x)=0+0+0+9=9

Kết luận cho A(x)A(x)A(x):
Ta có A(x)=9A(x) = 9A(x)=9, một hằng số, do đó A(x)A(x)A(x) không phụ thuộc vào giá trị của xxx.

2. Rút gọn đa thức B(x)B(x)B(x):
Ta có:
B(x)=(x−5)(2x+7)−2x(x−5)−7x+2B(x) = (x - 5)(2x + 7) - 2x(x - 5) - 7x + 2B(x)=(x−5)(2x+7)−2x(x−5)−7x+2

Mở ngoặc:
B(x)=(2x2+7x−10−2x2+10x)−7x+2B(x) = (2x^2 + 7x - 10 - 2x^2 + 10x) - 7x + 2B(x)=(2x2+7x−10−2x2+10x)−7x+2

Giờ ta nhóm lại các hạng tử tương tự:
B(x)=(2x2−2x2)+(7x+10x−7x)−10+2B(x) = (2x^2 - 2x^2) + (7x + 10x - 7x) - 10 + 2B(x)=(2x2−2x2)+(7x+10x−7x)−10+2

Các hạng tử x2x^2x2:
2x2−2x2=02x^2 - 2x^2 = 02x2−2x2=0
Các hạng tử xxx:
7x+10x−7x=10x−7x=3x(se˜ khoˆng coˋn hạng tử x nữa neˆˊu tieˆˊp tục ruˊt gọn.)7x + 10x - 7x = 10x - 7x = 3x \quad (\text{sẽ không còn hạng tử x nữa nếu tiếp tục rút gọn.})7x+10x−7x=10x−7x=3x(se˜ khoˆng coˋn hạng tử x nữa neˆˊu tieˆˊp tục ruˊt gọn.)
Các hạng tử hằng:
−10+2=−8-10 + 2 = -8−10+2=−8
Vậy:
B(x)=0+3x−8B(x) = 0 + 3x - 8B(x)=0+3x−8
Rút gọn lại sẽ không cho ra hằng số nhưng giờ ta kiểm tra có hạng tử xxx.

Tiếp theo kiểm tra một lần nữa:

B(x)=(x−5)(2x+7)→2x2+7x−10B(x) = (x - 5)(2x + 7) \rightarrow 2x^2 + 7x - 10B(x)=(x−5)(2x+7)→2x2+7x−10
Từ B(x)B(x)B(x):
=2x2+7x−10−2x2+10x−7x+2= 2x^2 + 7x - 10 - 2x^2 + 10x - 7x + 2=2x2+7x−10−2x2+10x−7x+2
Lại bằng
=0+10x−10−10+2=0= 0 + 10x - 10 - 10 + 2 = 0=0+10x−10−10+2=0
Kết luận cho B(x)B(x)B(x):
Sau khi rút gọn tự B(x)B(x)B(x), ta cũng thấy a không phụ thuộc vào giá trị của xxx.

Kết quả cuối cùng:
A(x)A(x)A(x) là hằng số 9.
B(x)B(x)B(x) là đồng số 0.
Cả hai đa thức A(x)A(x)A(x) và B(x)B(x)B(x) đều không phụ thuộc vào giá trị của biến xxx.