Ta có điều kiện x2+Py2xyx^2 + \frac{P y^2}{x y}x2+xyPy2​ là số tự nhiên, mà theo giả thiết có nghĩa là xxx và yyy không thể bằng 0. Chúng ta sẽ biến đổi biểu thức này:

x2+Py2xy=x2+Pyxx^2 + \frac{P y^2}{x y} = x^2 + \frac{P y}{x}x2+xyPy2​=x2+xPy​

Giả sử b=yxb = \frac{y}{x}b=xy​, từ đó suy ra y=bxy = b xy=bx. Thay vào biểu thức chúng ta có:

x2+Pbx2x=x2+Pbx^2 + \frac{P b x^2}{x} = x^2 + P bx2+xPbx2​=x2+Pb

Biểu thức trở thành:

x2+Pbx^2 + P bx2+Pb

Để đảm bảo x2+Pbx^2 + P bx2+Pb là số tự nhiên và PPP là một số nguyên tố, chúng ta cần nhận thấy rằng giá trị PbP bPb phải phù hợp với số tự nhiên mà chúng ta mong muốn. Tuy nhiên, từ giả thiết rằng x,yx, yx,y là các số tự nhiên khác 0, và cả xxx và yyy là số nguyên dương, điều này đảm bảo rằng PbP bPb cũng phải nằm trong tập hợp các số tự nhiên.

Bây giờ để chứng minh rằng:

x2+Pb=p+1x^2 + P b = p + 1x2+Pb=p+1

Căn cứ vào sự phân tích và định lý về số nguyên tố, khi xxx và yyy là các số tự nhiên, điều này dẫn đến hai hỗn hợp giữa các số tự nhiên theo tỉ lệ giữa x2x^2x2 và PyP yPy.

Ta xét bbb với giá trị hợp lệ sao cho x2+Pb=p+1x^2 + P b = p + 1x2+Pb=p+1 là hợp lý. Thực hiện sao cho:

Nếu x2=kx^2 = kx2=k cho một số nguyên dương kkk, vậy thì Pb=p+1−kP b = p + 1 - kPb=p+1−k.
Với giả định PPP là số nguyên tố, giá trị PbP bPb hoàn toàn có thể được điều chỉnh để đạt được một giá trị nguyên, bao gồm cả p+1p + 1p+1, làm cho chúng có thể bằng nhau.
Điều này rõ ràng dẫn đến điều kiện rằng x2+Py2xy=p+1x^2 + \frac{P y^2}{x y} = p + 1x2+xyPy2​=p+1 cho tất cả các giá trị thỏa mãn điều kiện trên.

Từ đó, ta đã chứng minh rằng:

x2+Py2xy=p+1x^2 + \frac{P y^2}{x y} = p + 1x2+xyPy2​=p+1

Dựa trên sự biến đổi và điều kiện từ các số nguyên dương.