Bài toán: Tìm hai số tự nhiên có tổng bằng 192 và UCLN = 24. Giả sử \( a > b \).

Cách giải:

Giả sử hai số cần tìm là \( a \) và \( b \), với \( a > b \).

- Theo giả thiết, ta có:
\[
a + b = 192 \quad \text{và} \quad \text{UCLN}(a, b) = 24.
\]

Vì \( \text{UCLN}(a, b) = 24 \), ta có thể biểu diễn hai số \( a \) và \( b \) dưới dạng:
\[
a = 24x \quad \text{và} \quad b = 24y,
\]
với \( x \) và \( y \) là các số nguyên dương sao cho \( \text{UCLN}(x, y) = 1 \) (tức là \( x \) và \( y \) là coprime, không có ước chung lớn hơn 1).

Thay vào phương trình tổng \( a + b = 192 \), ta có:
\[
24x + 24y = 192.
\]
Chia cả hai vế cho 24, ta được:
\[
x + y = 8.
\]

Với điều kiện \( \text{UCLN}(x, y) = 1 \), ta tìm các cặp số nguyên dương \( (x, y) \) sao cho tổng của chúng bằng 8 và \( x \) và \( y \) không có ước chung lớn hơn 1.

Các cặp số \( (x, y) \) thỏa mãn \( x + y = 8 \) là:
- \( (1, 7) \),
- \( (2, 6) \),
- \( (3, 5) \),
- \( (4, 4) \).

Tuy nhiên, chỉ có các cặp sau thỏa mãn \( \text{UCLN}(x, y) = 1 \):
- \( (1, 7) \) vì \( \text{UCLN}(1, 7) = 1 \),
- \( (3, 5) \) vì \( \text{UCLN}(3, 5) = 1 \).

 Trường hợp 1: \( (x, y) = (1, 7) \)

Khi đó, \( a = 24x = 24 \times 1 = 24 \) và \( b = 24y = 24 \times 7 = 168 \).
Vậy, hai số là \( a = 168 \) và \( b = 24 \).

 Trường hợp 2: \( (x, y) = (3, 5) \)

Khi đó, \( a = 24x = 24 \times 3 = 72 \) và \( b = 24y = 24 \times 5 = 120 \).
Vậy, hai số là \( a = 120 \) và \( b = 72 \).

Hai cặp số thỏa mãn đề bài là:
- \( a = 168 \) và \( b = 24 \),
- \( a = 120 \) và \( b = 72 \).

Vì \( a > b \), ta có thể chọn cặp \( a = 120 \) và \( b = 72 \) là một trong các đáp án hợp lý.