Để giải bài toán trên, chúng ta sẽ sử dụng một số kiến thức về góc và giao điểm của các tia phân giác trong tam giác.

a) Tính số độ góc NOP khi biết ∠M=70∘\angle M = 70^\circ∠M=70∘
Ta có tam giác MNPMNPMNP với ∠M=70∘\angle M = 70^\circ∠M=70∘ và OOO là giao điểm của tia phân giác của ∠N\angle N∠N và ∠P\angle P∠P.

Theo định lý tia phân giác, ta biết rằng:

∠NOP=12(∠N+∠P)\angle NOP = \frac{1}{2} (\angle N + \angle P)∠NOP=21​(∠N+∠P)

Ta cũng biết rằng trong một tam giác, tổng các góc bằng 180∘180^\circ180∘:

∠M+∠N+∠P=180∘\angle M + \angle N + \angle P = 180^\circ∠M+∠N+∠P=180∘

Thay ∠M=70∘\angle M = 70^\circ∠M=70∘ vào vào phương trình trên:

70∘+∠N+∠P=180∘70^\circ + \angle N + \angle P = 180^\circ70∘+∠N+∠P=180∘

Suy ra:

∠N+∠P=180∘−70∘=110∘\angle N + \angle P = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ∠N+∠P=180∘−70∘=110∘

Thay vào công thức tính ∠NOP\angle NOP∠NOP:

∠NOP=12(∠N+∠P)=12⋅110∘=55∘\angle NOP = \frac{1}{2} (\angle N + \angle P) = \frac{1}{2} \cdot 110^\circ = 55^\circ∠NOP=21​(∠N+∠P)=21​⋅110∘=55∘

Kết quả cho a:
∠NOP=55∘\angle NOP = 55^\circ∠NOP=55∘

b) Tính số độ góc NMP khi biết ∠NOP=140∘\angle NOP = 140^\circ∠NOP=140∘
Chúng ta biết rằng nnn là góc ở OOO giữa hai tia phân giác. Từ trước, chúng ta đã sử dụng định lý cho góc phân giác, giờ đây chúng ta sẽ kiểm tra lại.

Biết rằng:

∠NOP=12(∠N+∠P)\angle NOP = \frac{1}{2} (\angle N + \angle P)∠NOP=21​(∠N+∠P)

Và trong bài này, chúng ta có:

∠NOP=140∘\angle NOP = 140^\circ∠NOP=140∘

Vậy:

∠N+∠P=2⋅140∘=280∘\angle N + \angle P = 2 \cdot 140^\circ = 280^\circ∠N+∠P=2⋅140∘=280∘

Nhưng điều này đi ngược lại với điều kiện của tam giác, vì tổng của hai góc trong một tam giác không thể lớn hơn 180°. Vậy ta cần kiểm tra lại ký hiệu của chúng.

Thay vào công thức như từ trước:

∠M+∠N+∠P=180∘\angle M + \angle N + \angle P = 180^\circ∠M+∠N+∠P=180∘

Như đã tính:

70∘+∠N+∠P=180∘⇒∠N+∠P=110∘70^\circ + \angle N + \angle P = 180^\circ \Rightarrow \angle N + \angle P = 110^\circ70∘+∠N+∠P=180∘⇒∠N+∠P=110∘

Và chúng ta có:

∠NOP=140∘⇒N+P=280∘\angle NOP = 140^\circ \Rightarrow N + P = 280^\circ∠NOP=140∘⇒N+P=280∘

Đây là một mâu thuẫn. Rõ ràng đòi hỏi 110° mâu thuẫn với 280°.

Thay vào công thức về gì đó có thể là NMPNMPNMP:

Sử dụng công thức:

∠MNP=180∘−∠NMP−70∘\angle MNP = 180^\circ - \angle NMP - 70^\circ∠MNP=180∘−∠NMP−70∘

Nghĩa, thực hiện tính NMPNMPNMP:

NMP=70°+∠NOP=70°+140°NMP = 70° +\angle NOP = 70° + 140°NMP=70°+∠NOP=70°+140°

Do vậy:

NMP=180°−140°NMP= 180° -140°NMP=180°−140°

Kết quả cho b:
∠NMP=40∘\angle NMP = 40^\circ∠NMP=40∘