Ý tưởng: Chúng ta sẽ chứng minh hai tam giác có hai cặp cạnh tỉ lệ và góc xen giữa bằng nhau.

Lời giải:

Xác định các góc và các cạnh liên quan:

Tam giác ABC có các đường cao BH và CK.
C' nằm trên tia đối của AB sao cho AC' = CK.
B' nằm trên tia đối của AC sao cho AB' = BH.
Chứng minh các tam giác vuông:

Tam giác AKC vuông tại K (do CK là đường cao).
Tam giác AHB vuông tại H (do BH là đường cao).
Xét các cặp tam giác vuông:

Tam giác AKC' và tam giác AHB'.
Chúng ta có:AC' = CK (theo giả thiết)
AB' = BH (theo giả thiết)
Chứng minh tam giác AKC' đồng dạng với tam giác AHB':

Xét tam giác vuông AKC' và tam giác vuông AHB'.
Chúng ta có:AC′AH=CKAH\frac{AC'}{AH} = \frac{CK}{AH}AHAC′​=AHCK​
AB′AK=BHAK\frac{AB'}{AK} = \frac{BH}{AK}AKAB′​=AKBH​
Chúng ta cần chứng minhCKAH=BHAK\frac{CK}{AH} = \frac{BH}{AK}AHCK​=AKBH​
Ta có:CKAH=AK.tan(BAC)AH\frac{CK}{AH} = \frac{AK.tan(BAC)}{AH}AHCK​=AHAK.tan(BAC)​
Ta có:BHAK=AK.tan(BAC)AK=BH.tan(ABC)AK\frac{BH}{AK} = \frac{AK.tan(BAC)}{AK} = \frac{BH.tan(ABC)}{AK}AKBH​=AKAK.tan(BAC)​=AKBH.tan(ABC)​
Vì góc BAC chung cho cả hai tam giác AKC' và AHB', ta cần tìm mối quan hệ giữa chúng.
Xét tam giác vuông AKC và tam giác AHB.CKAK=tan(∠A)\frac{CK}{AK} = tan(\angle A)AKCK​=tan(∠A)
BHAH=tan(∠A)\frac{BH}{AH} = tan(\angle A)AHBH​=tan(∠A)
Từ đây suy ra CKAK=BHAH\frac{CK}{AK} = \frac{BH}{AH}AKCK​=AHBH​
Do đó, AC′AH=AB′AK\frac{AC'}{AH} = \frac{AB'}{AK}AHAC′​=AKAB′​ (1)
Góc BAC là góc chung (2)
Vậy, theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (c.g.c), tam giác AKC' đồng dạng với tam giác AHB'.
Chứng minh tam giác AB'C' đồng dạng với tam giác ABC:

Từ (1) và (2) chúng ta đã chứng minh được tam giác AKC' đồng dạng với tam giác AHB'.
Suy ra: ∠B′AC′=∠BAC\angle B'AC' = \angle BAC∠B′AC′=∠BAC.
Ngoài ra, AB′AC=AB′AB\frac{AB'}{AC} = \frac{AB'}{AB}ACAB′​=ABAB′​ và AC′AB=AC′AC\frac{AC'}{AB} = \frac{AC'}{AC}ABAC′​=ACAC′​.
Mặt khác, tam giác AB'C' có ∠B′AC′=∠BAC\angle B'AC' = \angle BAC∠B′AC′=∠BAC.
Vậy, theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (c.g.c), tam giác AB'C' đồng dạng với tam giác ABC (đpcm).
Kết luận:

Chúng ta đã chứng minh thành công rằng tam giác AB'C' đồng dạng với tam giác ABC.