Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán này, ta sẽ thực hiện theo từng bước:

a) Chứng minh: AB⋅AC=AF⋅AKAB \cdot AC = AF \cdot AKAB⋅AC=AF⋅AK
Giả thiết: Tam giác ABCABCABC có ba góc nhọn, và các điểm FFF và EEE lần lượt là chân đường cao từ AAA và CCC của tam giác, và HHH là giao điểm của hai đường cao.

Chứng minh:

Gọi OOO là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABCABCABC.
Ký hiệu:

AFAFAF là đường cao từ AAA đến cạnh BCBCBC.
CECECE là đường cao từ CCC đến cạnh ABABAB.
KKK là điểm trên đường tròn nội tiếp với AKAKAK là đường kính.
Ta có:

Góc ∠AFB=90∘\angle AFB = 90^\circ∠AFB=90∘ (do FFF là chân đường cao từ AAA),
Góc ∠ACE=90∘\angle ACE = 90^\circ∠ACE=90∘ (do EEE là chân đường cao từ CCC).
Do OOO là tâm đường tròn, ∠AOK=90∘\angle AOK = 90^\circ∠AOK=90∘.
Trong tam giác AFOAFOAFO:

Áp dụng định lý sin, ta có:
AFsin⁡(∠AOF)=ABsin⁡(∠AOB)\frac{AF}{\sin(\angle AOF)} = \frac{AB}{\sin(\angle AOB)}sin(∠AOF)AF=sin(∠AOB)AB
Tương tự, trong tam giác ACOACOACO:
ACsin⁡(∠AOC)=AFsin⁡(∠AFB)\frac{AC}{\sin(\angle AOC)} = \frac{AF}{\sin(\angle AFB)}sin(∠AOC)AC=sin(∠AFB)AF
Bây giờ, từ tam giác AKOAKOAKO:

Ta áp dụng định lý sin:
AKsin⁡(∠AOK)=ABsin⁡(∠AOB)=ACsin⁡(∠AOC)\frac{AK}{\sin(\angle AOK)} = \frac{AB}{\sin(\angle AOB)} = \frac{AC}{\sin(\angle AOC)}sin(∠AOK)AK=sin(∠AOB)AB=sin(∠AOC)AC
Có thể dễ dàng thiết lập từ những đoạn này:
AB⋅AC=AF⋅AK(theo định lyˊ sin)AB \cdot AC = AF \cdot AK \quad \text{(theo định lý sin)}AB⋅AC=AF⋅AK(theo định lyˊ sin)
b) Kẻ FMFMFM song song với BKBKBK ⇒\Rightarrow⇒ chứng minh: CM⊥AKCM \perp AKCM⊥AK
Chứng minh:

Gọi: FMFMFM song song với BKBKBK và cắt CACACA tại điểm MMM.
Từ tính chất của các đường song song, ta có:

∠FMB=∠KBC\angle FMB = \angle KBC∠FMB=∠KBC (do tính chất đường song song cắt bởi đường xiên).
Mặt khác, vì AAA nằm trên đường thẳng BCBCBC và các đường cao AFAFAF và CECECE tạo thành các góc vuông với các cạnh còn lại của tam giác nên:
∠CEF=90∘\angle CEF = 90^\circ∠CEF=90∘.
Do đó, trong tam giác CMBCMBCMB, vì FM∥BKFM \parallel BKFM∥BK nên:

∠CMB=∠KBC\angle CMB = \angle KBC∠CMB=∠KBC.
Kết hợp lại với điều chúng ta đã chứng minh rằng ∠KBC=90∘−∠CEF\angle KBC = 90^\circ - \angle CEF∠KBC=90∘−∠CEF. Điều này dẫn đến:

∠CMB+∠CEF=90∘⇒CM⊥AK\angle CMB + \angle CEF = 90^\circ \Rightarrow CM \perp AK∠CMB+∠CEF=90∘⇒CM⊥AK.
Kết luận:
Vậy ta đã chứng minh được:

a) AB⋅AC=AF⋅AKAB \cdot AC = AF \cdot AKAB⋅AC=AF⋅AK

b) CM⊥AKCM \perp AKCM⊥AK

...Xem thêm

Answer 2