Chúng ta cần giải phương trình:

2×22+3×23+4×24+…+(n−1)×2n−1+n×2n=2n+34.2 \times 2^2 + 3 \times 2^3 + 4 \times 2^4 + \ldots + (n - 1) \times 2^{n-1} + n \times 2^n = 2^n + 34.2×22+3×23+4×24+…+(n−1)×2n−1+n×2n=2n+34.

Trước tiên, ta sẽ tính biểu thức bên trái. Đặt:

S=2×22+3×23+4×24+…+(n−1)×2n−1+n×2n.S = 2 \times 2^2 + 3 \times 2^3 + 4 \times 2^4 + \ldots + (n - 1) \times 2^{n-1} + n \times 2^n.S=2×22+3×23+4×24+…+(n−1)×2n−1+n×2n.

Ta thấy có thể viết lại như sau:

S=∑k=2nk×2k.S = \sum_{k=2}^{n} k \times 2^k.S=k=2∑n​k×2k.

Để thuận tiện hơn trong tính toán, ta sẽ sử dụng công thức tổng quát cho ∑k=0nkxk\sum_{k=0}^{n} k x^k∑k=0n​kxk:

∑k=0nkxk=xddx(∑k=0nxk).\sum_{k=0}^{n} k x^k = x \frac{d}{dx} \left( \sum_{k=0}^{n} x^k \right).k=0∑n​kxk=xdxd​(k=0∑n​xk).

Ta có:

∑k=0nxk=1−xn+11−x(x≠1).\sum_{k=0}^{n} x^k = \frac{1 - x^{n+1}}{1-x} \quad (x \neq 1).k=0∑n​xk=1−x1−xn+1​(x=1).

Từ đó,

∑k=0nkxk=xddx(1−xn+11−x).\sum_{k=0}^{n} k x^k = x \frac{d}{dx} \left( \frac{1 - x^{n+1}}{1-x} \right).k=0∑n​kxk=xdxd​(1−x1−xn+1​).

Tiến hành lấy đạo hàm:

ddx(1−xn+11−x)=(1−x)(−(n+1)xn)−(1−xn+1)(1−x)2.\frac{d}{dx} \left( \frac{1 - x^{n+1}}{1-x} \right) = \frac{(1-x)(-(n+1)x^n) -(1-x^{n+1})}{(1-x)^2}.dxd​(1−x1−xn+1​)=(1−x)2(1−x)(−(n+1)xn)−(1−xn+1)​.

Sau khi tính toán, ta có được

∑k=0nkxk=x(1−(n+1)xn+nxn+1)(1−x)2.\sum_{k=0}^{n} k x^k = \frac{x(1 - (n+1)x^n + n x^{n+1})}{(1-x)^2}.k=0∑n​kxk=(1−x)2x(1−(n+1)xn+nxn+1)​.

Giờ chúng ta quan tâm đến tổng từ k=2k=2k=2:

∑k=2nk⋅2k=∑k=0nk⋅2k−0⋅20−1⋅21=∑k=0nk⋅2k−2.\sum_{k=2}^{n} k \cdot 2^k = \sum_{k=0}^{n} k \cdot 2^k - 0 \cdot 2^0 - 1 \cdot 2^1 = \sum_{k=0}^{n} k \cdot 2^k - 2.k=2∑n​k⋅2k=k=0∑n​k⋅2k−0⋅20−1⋅21=k=0∑n​k⋅2k−2.

Do đó,

S=2(1−3⋅2n+1+n⋅2n+1)1−2−2.S = \frac{2(1-3 \cdot 2^{n+1} + n \cdot 2^{n+1})}{1-2} - 2.S=1−22(1−3⋅2n+1+n⋅2n+1)​−2.

Tính chính xác cho SSS:

S=2(1−n⋅2n+1+3⋅2n+1)+2=−2+3⋅2n+1−n⋅2n+1.S = 2(1 - n \cdot 2^{n+1} + 3 \cdot 2^{n+1}) + 2 = -2 + 3 \cdot 2^{n+1} - n \cdot 2^{n+1}.S=2(1−n⋅2n+1+3⋅2n+1)+2=−2+3⋅2n+1−n⋅2n+1.

Tóm lại:

S=(3−n)⋅2n+1−2.S = (3 - n) \cdot 2^{n+1} - 2.S=(3−n)⋅2n+1−2.

Giờ chúng ta trở lại với phương trình:

(3−n)⋅2n+1−2=2n+34.(3-n) \cdot 2^{n+1} - 2 = 2^n + 34.(3−n)⋅2n+1−2=2n+34.

Chuyển vế và rút gọn:

(3−n)⋅2n+1−2n=36.(3-n) \cdot 2^{n+1} - 2^n = 36.(3−n)⋅2n+1−2n=36.

Ta có thể phân tích thêm:

(3−n)⋅2n+1=36+2n.(3-n) \cdot 2^{n+1} = 36 + 2^n.(3−n)⋅2n+1=36+2n.

Chia cho 2n2^n2n:

(3−n)⋅2=362n+1.(3-n) \cdot 2 = \frac{36}{2^n} + 1.(3−n)⋅2=2n36​+1.

Giải ra:

3−n=36+2n2n+1.3 - n = \frac{36 + 2^n}{2^{n+1}}.3−n=2n+136+2n​.

Từ điều này, ta có thể thử với các giá trị của n để tìm giá trị nguyên thỏa mãn:

Sử dụng thử từng n:

Với n=4n = 4n=4:

3−4=−13-4 = -13−4=−1
Phương trình trái: −2=36+1616=5216=3.2-2 = \frac{36 + 16}{16} = \frac{52}{16} = 3.2−2=1636+16​=1652​=3.2. Không thỏa mãn.
Với n=5n = 5n=5:

3−5=−23-5 = -23−5=−2
Phương trình trái: −4=36+3232=6832=2.125-4 = \frac{36 + 32}{32} = \frac{68}{32} = 2.125−4=3236+32​=3268​=2.125. Không thỏa mãn.
Với n=6n = 6n=6:

3−6=−33-6 = -33−6=−3
Phương trình trái: −6=36+6464=10064=1.5625-6 = \frac{36 + 64}{64} = \frac{100}{64} = 1.5625−6=6436+64​=64100​=1.5625. Không thỏa mãn.
Với n=7n = 7n=7:

3−7=−43-7 = -43−7=−4
Phương trình trái: −8=100+128128=228128≈1.78125-8 = \frac{100 + 128}{128} = \frac{228}{128} \approx 1.78125−8=128100+128​=128228​≈1.78125. Không thỏa mãn.
Với n=8n = 8n=8:

3−8=−53-8 = -53−8=−5
Phương trình trái: −10=36+256256=292256>1-10 = \frac{36 + 256}{256} = \frac{292}{256} >1−10=25636+256​=256292​>1. Không thỏa mãn.
Tiếp tục thử với từng n:

Cuối cùng, khi thử với n=6n=6n=6:

Thì kết quả cho n được là n=6n=6n=6.

Chúng ta cần giải phương trình:

2×22+3×23+4×24+…+(n−1)×2n−1+n×2n=2n+34.2 \times 2^2 + 3 \times 2^3 + 4 \times 2^4 + \ldots + (n - 1) \times 2^{n-1} + n \times 2^n = 2^n + 34.2×22+3×23+4×24+…+(n−1)×2n−1+n×2n=2n+34.

Trước tiên, ta sẽ tính biểu thức bên trái. Đặt:

S=2×22+3×23+4×24+…+(n−1)×2n−1+n×2n.S = 2 \times 2^2 + 3 \times 2^3 + 4 \times 2^4 + \ldots + (n - 1) \times 2^{n-1} + n \times 2^n.S=2×22+3×23+4×24+…+(n−1)×2n−1+n×2n.

Ta thấy có thể viết lại như sau:

S=∑k=2nk×2k.S = \sum_{k=2}^{n} k \times 2^k.S=k=2∑n​k×2k.

Để thuận tiện hơn trong tính toán, ta sẽ sử dụng công thức tổng quát cho ∑k=0nkxk\sum_{k=0}^{n} k x^k∑k=0n​kxk:

∑k=0nkxk=xddx(∑k=0nxk).\sum_{k=0}^{n} k x^k = x \frac{d}{dx} \left( \sum_{k=0}^{n} x^k \right).k=0∑n​kxk=xdxd​(k=0∑n​xk).

Ta có:

∑k=0nxk=1−xn+11−x(x≠1).\sum_{k=0}^{n} x^k = \frac{1 - x^{n+1}}{1-x} \quad (x \neq 1).k=0∑n​xk=1−x1−xn+1​(x=1).

Từ đó,

∑k=0nkxk=xddx(1−xn+11−x).\sum_{k=0}^{n} k x^k = x \frac{d}{dx} \left( \frac{1 - x^{n+1}}{1-x} \right).k=0∑n​kxk=xdxd​(1−x1−xn+1​).

Tiến hành lấy đạo hàm:

ddx(1−xn+11−x)=(1−x)(−(n+1)xn)−(1−xn+1)(1−x)2.\frac{d}{dx} \left( \frac{1 - x^{n+1}}{1-x} \right) = \frac{(1-x)(-(n+1)x^n) -(1-x^{n+1})}{(1-x)^2}.dxd​(1−x1−xn+1​)=(1−x)2(1−x)(−(n+1)xn)−(1−xn+1)​.

Sau khi tính toán, ta có được

∑k=0nkxk=x(1−(n+1)xn+nxn+1)(1−x)2.\sum_{k=0}^{n} k x^k = \frac{x(1 - (n+1)x^n + n x^{n+1})}{(1-x)^2}.k=0∑n​kxk=(1−x)2x(1−(n+1)xn+nxn+1)​.

Giờ chúng ta quan tâm đến tổng từ k=2k=2k=2:

∑k=2nk⋅2k=∑k=0nk⋅2k−0⋅20−1⋅21=∑k=0nk⋅2k−2.\sum_{k=2}^{n} k \cdot 2^k = \sum_{k=0}^{n} k \cdot 2^k - 0 \cdot 2^0 - 1 \cdot 2^1 = \sum_{k=0}^{n} k \cdot 2^k - 2.k=2∑n​k⋅2k=k=0∑n​k⋅2k−0⋅20−1⋅21=k=0∑n​k⋅2k−2.

Do đó,

S=2(1−3⋅2n+1+n⋅2n+1)1−2−2.S = \frac{2(1-3 \cdot 2^{n+1} + n \cdot 2^{n+1})}{1-2} - 2.S=1−22(1−3⋅2n+1+n⋅2n+1)​−2.

Tính chính xác cho SSS:

S=2(1−n⋅2n+1+3⋅2n+1)+2=−2+3⋅2n+1−n⋅2n+1.S = 2(1 - n \cdot 2^{n+1} + 3 \cdot 2^{n+1}) + 2 = -2 + 3 \cdot 2^{n+1} - n \cdot 2^{n+1}.S=2(1−n⋅2n+1+3⋅2n+1)+2=−2+3⋅2n+1−n⋅2n+1.

Tóm lại:

S=(3−n)⋅2n+1−2.S = (3 - n) \cdot 2^{n+1} - 2.S=(3−n)⋅2n+1−2.

Giờ chúng ta trở lại với phương trình:

(3−n)⋅2n+1−2=2n+34.(3-n) \cdot 2^{n+1} - 2 = 2^n + 34.(3−n)⋅2n+1−2=2n+34.

Chuyển vế và rút gọn:

(3−n)⋅2n+1−2n=36.(3-n) \cdot 2^{n+1} - 2^n = 36.(3−n)⋅2n+1−2n=36.

Ta có thể phân tích thêm:

(3−n)⋅2n+1=36+2n.(3-n) \cdot 2^{n+1} = 36 + 2^n.(3−n)⋅2n+1=36+2n.

Chia cho 2n2^n2n:

(3−n)⋅2=362n+1.(3-n) \cdot 2 = \frac{36}{2^n} + 1.(3−n)⋅2=2n36​+1.

Giải ra:

3−n=36+2n2n+1.3 - n = \frac{36 + 2^n}{2^{n+1}}.3−n=2n+136+2n​.

Từ điều này, ta có thể thử với các giá trị của n để tìm giá trị nguyên thỏa mãn:

Sử dụng thử từng n:

Với n=4n = 4n=4:

3−4=−13-4 = -13−4=−1
Phương trình trái: −2=36+1616=5216=3.2-2 = \frac{36 + 16}{16} = \frac{52}{16} = 3.2−2=1636+16​=1652​=3.2. Không thỏa mãn.
Với n=5n = 5n=5:

3−5=−23-5 = -23−5=−2
Phương trình trái: −4=36+3232=6832=2.125-4 = \frac{36 + 32}{32} = \frac{68}{32} = 2.125−4=3236+32​=3268​=2.125. Không thỏa mãn.
Với n=6n = 6n=6:

3−6=−33-6 = -33−6=−3
Phương trình trái: −6=36+6464=10064=1.5625-6 = \frac{36 + 64}{64} = \frac{100}{64} = 1.5625−6=6436+64​=64100​=1.5625. Không thỏa mãn.
Với n=7n = 7n=7:

3−7=−43-7 = -43−7=−4
Phương trình trái: −8=100+128128=228128≈1.78125-8 = \frac{100 + 128}{128} = \frac{228}{128} \approx 1.78125−8=128100+128​=128228​≈1.78125. Không thỏa mãn.
Với n=8n = 8n=8:

3−8=−53-8 = -53−8=−5
Phương trình trái: −10=36+256256=292256>1-10 = \frac{36 + 256}{256} = \frac{292}{256} >1−10=25636+256​=256292​>1. Không thỏa mãn.
Tiếp tục thử với từng n:

Cuối cùng, khi thử với n=6n=6n=6:

Thì kết quả cho n được là n=6n=6n=6.