Để xác định công thức của muối \( X \), ta cần phân tích các phản ứng xảy ra và sử dụng các dữ liệu cho sẵn.

Muối \( X \) chứa các ion \( \text{Fe}^{2+}, \text{NH}_4^+, \text{SO}_4^{2-} \). Do đó, \( X \) có thể là một muối sắt(II) amoni có dạng \( \text{FeSO}_4 \cdot nH_2O \) (muối sắt(II) sunfat ngậm nước).

Khi cho NaOH dư vào dung dịch \( X \), ta sẽ thu được khí \( NH_3 \) (do amoni \( \text{NH}_4^+ \) bị khử bởi NaOH trong môi trường kiềm). Phản ứng xảy ra là:

\[
\text{NH}_4^+ + \text{OH}^- \rightarrow \text{NH}_3 (k) + H_2O
\]

Khí \( \text{NH}_3 \) thu được có thể đo được thể tích ở điều kiện tiêu chuẩn (đkc). Theo bài toán, thể tích khí là 49,58 mL, tương đương 0,04958 L. Áp dụng định lý khí lý tưởng để tính số mol của \( \text{NH}_3 \):

\[
n_{\text{NH}_3} = \frac{V}{22,4} = \frac{0,04958}{22,4} = 2,21 \times 10^{-3} \text{ mol}
\]

Số mol \( \text{NH}_4^+ \) trong dung dịch là \( 2,21 \times 10^{-3} \) mol, và do dung dịch \( X \) có 20 mL (0,02 L), nên nồng độ của \( \text{NH}_4^+ \) trong 20 mL dung dịch là:

\[
C_{\text{NH}_4^+} = \frac{2,21 \times 10^{-3}}{0,02} = 0,1105 \text{ mol/L}
\]

Vì dung dịch \( X \) có tổng thể tích là 100 mL, số mol \( \text{NH}_4^+ \) trong toàn bộ dung dịch là:

\[
n_{\text{NH}_4^+} = 0,1105 \times 0,1 = 0,01105 \text{ mol}
\]

Khi cho BaCl2 dư vào dung dịch \( X \), Ba\(^{2+}\) kết hợp với ion SO4\(^{2-}\) để tạo ra kết tủa BaSO4. Phản ứng là:

\[
\text{Ba}^{2+} + \text{SO}_4^{2-} \rightarrow \text{BaSO}_4 (s)
\]

Khối lượng kết tủa BaSO4 là 0,466 g. Tính số mol BaSO4:

\[
n_{\text{BaSO}_4} = \frac{0,466}{\text{Molar mass of BaSO}_4} = \frac{0,466}{137,33} = 3,39 \times 10^{-3} \text{ mol}
\]

Số mol của ion SO4\(^{2-}\) cũng là \( 3,39 \times 10^{-3} \) mol, và vì dung dịch \( X \) có 20 mL (0,02 L), nồng độ ion SO4\(^{2-}\) trong 20 mL là:

\[
C_{\text{SO}_4^{2-}} = \frac{3,39 \times 10^{-3}}{0,02} = 0,1695 \text{ mol/L}
\]

Số mol SO4\(^{2-}\) trong toàn bộ 100 mL dung dịch là:

\[
n_{\text{SO}_4^{2-}} = 0,1695 \times 0,1 = 0,01695 \text{ mol}
\]

Dựa vào số mol của ion \( \text{NH}_4^+ \) và \( \text{SO}_4^{2-} \), ta có thể suy ra rằng mỗi phân tử muối \( X \) chứa 1 mol \( \text{SO}_4^{2-} \) và 1 mol \( \text{NH}_4^+ \), do đó công thức của muối là \( \text{FeSO}_4 \cdot nH_2O \).

Chúng ta biết rằng khối lượng muối \( X \) là 3,92 g. Ta tính khối lượng mol của muối \( \text{FeSO}_4 \) (không có nước ngậm):

\[
\text{Molar mass of FeSO}_4 = 55,85 + 32 + 4 \times 16 = 151,85 \text{ g/mol}
\]

Số mol của muối \( \text{FeSO}_4 \) trong 3,92 g là:

\[
n_{\text{FeSO}_4} = \frac{3,92}{151,85} = 0,0258 \text{ mol}
\]

Số mol của ion Fe\(^{2+}\) cũng là 0,0258 mol. Do đó, tỷ lệ giữa số mol \( \text{FeSO}_4 \) và số mol \( \text{NH}_4^+ \) (cũng là 0,0258 mol) và số mol của ion SO4\(^{2-}\) (là 0,01695 mol) gần bằng 1:1.

Vì vậy, công thức của muối \( X \) là FeSO₄·7H₂O (muối sắt(II) sunfat heptahydrat).

     \[\text{NH}_4^+ + \text{OH}^- \rightarrow \text{NH}_3 + \text{H}_2\text{O}\]

     \[\text{SO}_4^{2-} + \text{Ba}^{2+} \rightarrow \text{BaSO}_4\]

       \[n_{\text{NH}_4^+} = \frac{49,58 \times 10^{-3}}{22,4} \approx 0,00221 \text{ mol}\]

       \[n_{\text{SO}_4^{2-}} = \frac{0,466}{233,39} \approx 0,002 \text{ mol}\]

       \[n_{\text{Fe}^{2+}} + n_{\text{NH}_4^+} + n_{\text{SO}_4^{2-}} = \text{tổng số mol} \]

       \[2n_{\text{Fe}^{2+}} + n_{\text{NH}_4^+} = 2n_{\text{SO}_4^{2-}} \]

       \[2n_{\text{Fe}^{2+}} + 0,00221 = 2 \times 0,002 \Rightarrow n_{\text{Fe}^{2+}} \approx 0,000895 \text{ mol} \]

     \[n_{\text{Fe}^{2+}} = 0,000895 \times 5 = 0,004475 \text{ mol}\]

     \[n_{\text{NH}_4^+} = 0,00221 \times 5 = 0,01105 \text{ mol}\]

     \[n_{\text{SO}_4^{2-}} = 0,002 \times 5 = 0,01 \text{ mol}\]

   - Tỉ lệ mol của các ion:

     \[ \text{Fe}^{2+} : \text{NH}_4^+ : \text{SO}_4^{2-} = 0,004475 : 0,01105 : 0,01 \approx 1 : 2,47 : 2,23 \]

   -công thức của muối X là: 

\[text{Fe(NH}_4\text{)}_2(\text{SO}_4)_2 \cdot n\text{H}_2\text{O} \]

     \[ \text{Khối lượng mol của Fe(NH}_4\text{)}_2(\text{SO}_4)_2 = 55,85 + 2 \times 18,04 + 2 \times 96,06 = 284,05 \text{ g/mol} \]

     \[\text{Khối lượng muối X} = 3,92 \text{ g} \]

     \[  \text{Số mol muối X} = \frac{3,92}{284,05} \approx 0,0138 \text{ mol} \]

  \

     \[n_{\text{H}_2\text{O}} = \frac{3,92 - 0,0138 \times 284,05}{18,02} \approx 0,0138 \text{ mol}  \]

   - Vậy công thức của muối X là:

     \[ \text{Fe(NH}_4\text{)}_2(\text{SO}_4)_2 \cdot 6\text{H}_2\text{O} \]

 Công thức của muối X là \(\text{Fe(NH}_4\text{)}_2(\text{SO}_4)_2 \cdot 6\text{H}_2\text{O}\).