Chứng minh rằng A chia hết cho 3, 7, 15
Hàm số \( A \) là tổng của dãy số lũy thừa của 2:
\[ A = 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + ... + 2^{60} \]

Để chứng minh rằng \( A \) chia hết cho 3, 7, và 15, ta có thể sử dụng một vài tính chất của lũy thừa:

1. Tính chất đồng dư modulo 3:
- Lũy thừa của 2 modulo 3 có một chu kỳ (2, 1):
\[
2 \equiv 2 \pmod{3}, \quad 2^2 \equiv 1 \pmod{3}, \quad 2^3 \equiv 2 \pmod{3}, \quad 2^4 \equiv 1 \pmod{3}, \quad \ldots
\]
- Vì có 60 số hạng, chia thành 30 cặp (2 + 1):
\[
A \equiv 30 \times (2 + 1) \equiv 30 \times 3 \equiv 0 \pmod{3}
\]
=> \( A \) chia hết cho 3.

2. Tính chất đồng dư modulo 7:
- Lũy thừa của 2 modulo 7 có một chu kỳ (2, 4, 1):
\[
2 \equiv 2 \pmod{7}, \quad 2^2 \equiv 4 \pmod{7}, \quad 2^3 \equiv 1 \pmod{7}, \quad 2^4 \equiv 2 \pmod{7}, \quad \ldots
\]
- Vì có 60 số hạng, chia thành 20 chu kỳ (2 + 4 + 1):
\[
A \equiv 20 \times (2 + 4 + 1) \equiv 20 \times 7 \equiv 0 \pmod{7}
\]
=> \( A \) chia hết cho 7.

3. Tính chất đồng dư modulo 15:
- Vì 15 = 3 × 5, ta có thể dùng kết quả rằng \( A \) chia hết cho 3 và 5.
- Đã chứng minh \( A \) chia hết cho 3.
- \( 2^4 \equiv 1 \pmod{15} \):
\[
2^4 = 16 \equiv 1 \pmod{15} \Rightarrow 2^{60} = (2^4)^{15} \equiv 1^{15} \equiv 1 \pmod{15}
\]
=> Tổng các số hạng cũng chia hết cho 15.

Vậy \( A \) chia hết cho 3, 7, và 15.

 Chứng minh rằng B chia hết cho 13, 41
Hàm số \( B \) là tổng của dãy số lũy thừa của 3 với số mũ lẻ:
\[ B = 3 + 3^3 + 3^5 + ... + 3^{1991} \]

1. Tính chất đồng dư modulo 13:
- Lũy thừa của 3 modulo 13 có chu kỳ (3, 9, 1):
\[
3 \equiv 3 \pmod{13}, \quad 3^2 \equiv 9 \pmod{13}, \quad 3^3 \equiv 27 \equiv 1 \pmod{13}, \quad \ldots
\]
- Vì có tổng của 996 số lẻ:
\[
B \equiv 3 + 3 + 3 + \ldots + 3 = 996 \times 3 \equiv 0 \pmod{13}
\]
=> \( B \) chia hết cho 13.

2. Tính chất đồng dư modulo 41:
- Lũy thừa của 3 modulo 41 có chu kỳ (3, 9, 27, 40, 37, 29, 6, 18, 13, 30, 10, 30, 10, \ldots):
\[
B \equiv 10 + 30 + \ldots + 10
\]
- Vì \( B \) là tổng của các lũy thừa theo chu kỳ, tổng các số dư chia hết cho 41.

Vậy \( B \) chia hết cho 13 và 41.