### Bước 1: Tìm kích thước của hình hộp chữ nhật

1. **Cho biết:**
- Chu vi mặt đáy của hình hộp chữ nhật là 26 dm.
- Chiều rộng \( y \) kém chiều dài \( x \) là 5 dm: \( y = x - 5 \).

2. **Tính chiều dài và chiều rộng:**
- Chu vi mặt đáy của hình hộp chữ nhật là: \( 2(x + y) = 26 \)
- Thay \( y = x - 5 \) vào phương trình trên:
\[
2(x + x - 5) = 26 \]
\[
2(2x - 5) = 26 \]
\[
4x - 10 = 26 \]
\[
4x = 36 \]
\[
x = 9 \]
\[
y = x - 5 = 9 - 5 = 4 \]

Vậy, chiều dài của hình hộp chữ nhật là 9 dm và chiều rộng là 4 dm.

### Bước 2: Tính thể tích của hình hộp chữ nhật

- Ta có chiều cao của hình hộp chữ nhật chính là cạnh của hình lập phương, gọi là \( a \).
- Thể tích của hình hộp chữ nhật: \( V_{hinhhop} = x \times y \times a = 9 \times 4 \times a = 36a \).

### Bước 3: Tính thể tích của hình lập phương

- Ta có thể tích của hình lập phương bằng hình hộp chữ nhật: \( V_{lapphuong} = a^3 \).
- Do thể tích của hình lập phương bằng thể tích của hình hộp chữ nhật: \( a^3 = 36a \).
- Giải phương trình:
\[
a^3 = 36a \]
\[
a(a^2 - 36) = 0 \]
\[
a = 0 \quad hoặc \quad a^2 = 36 \]

Vì cạnh của hình lập phương không thể bằng 0, ta có:
\[ a^2 = 36 \]
\[ a = 6 \]

Vậy, cạnh của hình lập phương là 6 dm.

- Thể tích của hình lập phương:
\[ V_{lapphuong} = 6^3 = 216 \text{ dm}^3 \]

### Bước 4: Tính diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật

- Chiều dài \( x = 9 \) dm
- Chiều rộng \( y = 4 \) dm
- Chiều cao \( a = 6 \) dm

- Diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật là:
\[ S_{toanphan} = 2(xy + xz + yz) \]
\[ S_{toanphan} = 2(9 \times 4 + 9 \times 6 + 4 \times 6) \]
\[ S_{toanphan} = 2(36 + 54 + 24) \]
\[ S_{toanphan} = 2 \times 114 \]
\[ S_{toanphan} = 228 \text{ dm}^2 \]

### Kết quả:

- Thể tích của hình lập phương: \( 216 \text{ dm}^3 \)
- Diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật: \( 228 \text{ dm}^2 \)