Trong tam giác
MNQ
, ta có điểm
E
là trung điểm của đoạn thẳng
NQ
. Ta xét đoạn thẳng
EM
và điểm
P
nằm trên tia đối của tia
EM
sao cho
EM=EP
.

### Chứng minh:

#### a) Chứng minh
MQ=NP

1. **Ký hiệu:** Gọi
M
là một điểm thuộc tam giác
MNQ
, và
Q
,
N
là các điểm khác.

2. **Tính chất của E:** Vì
E
là trung điểm của
NQ
, nên ta có:
EN=EQ

3. **Tạo ra tam giác đồng dạng:** Xét hai tam giác
EMN
và
PNE
:
- Tam giác
EMN
sẽ tương ứng với tam giác
PNE
vì
EM=EP
và
EN=EQ
.
- Do đó, lực tương ứng được giữ nguyên.

4. **Suy ra:** Từ đó, chúng ta suy ra được các cạnh tương ứng của hai tam giác sẽ tỉ lệ với nhau. Vì vậy, ta có:
MQNP=EMEP=1⇒MQ=NP

#### b) Chứng minh
MQ∥NP

1. Từ việc hai tam giác
EMN
và
PNE
đồng dạng, ta có các góc tương ứng bằng nhau.

Cụ thể:
-
∠EMN=∠PNE
(góc tại
E
)
-
∠EMQ=∠PNE
(góc tại
M
và góc tại
N
)

2. Nếu
MQ=NP
và hai cặp góc tương ứng bằng nhau, theo tiêu chuẩn của hai đường thẳng song song, ta có thể kết luận:
MQ∥NP

### Kết luận
Từ những lý lẽ trên, ta đã chứng minh được hai điều cần chứng minh:
a)
MQ=NP
và b)
MQ∥NP
.