Để tìm khoảng thời gian mà độ sâu nước h(t)h(t) của kênh tăng dần, ta cần xem xét hàm số được cho:

h(t)=2cos⁡(πt12+π3)+5h(t)=2cos(12πt​+3π​)+5
1. Tính đạo hàm của hàm số:
Chúng ta bắt đầu tìm đạo hàm của h(t)h(t):

h′(t)=−2⋅sin⁡(πt12+π3)⋅π12h′(t)=−2⋅sin(12πt​+3π​)⋅12π​
Để độ sâu tăng dần, cần h′(t)>0h′(t)>0:

−2⋅sin⁡(πt12+π3)⋅π12>0−2⋅sin(12πt​+3π​)⋅12π​>0
Điều này tương đương với:

sin⁡(πt12+π3)<0sin(12πt​+3π​)<0
2. Giải bất phương trình:
Ta cần tìm các giá trị của tt sao cho sin⁡(πt12+π3)sin(12πt​+3π​) âm.

Biết rằng:

Hàm sine âm khi nằm trong khoảng (kπ+π,kπ+2π)(kπ+π,kπ+2π) với k∈Zk∈Z.
Giải bất phương trình:

πt12+π3∈(kπ+π,kπ+2π)12πt​+3π​∈(kπ+π,kπ+2π)
Đối với giá trị k=0k=0:

πt12+π3∈(π,2π)12πt​+3π​∈(π,2π)
⇒πt12∈(π−π3,2π−π3)⇒12πt​∈(π−3π​,2π−3π​)
Tính toán khoảng:

π−π3=2π3π−3π​=32π​
2π−π3=5π32π−3π​=35π​
Ta đã có:

2π3<πt12<5π332π​<12πt​<35π​
Nhân cả hai vế với 12ππ12​:

2⋅123<t<5⋅12332⋅12​<t<35⋅12​
Tính toán:

8<t<208<t<20
3. Kết luận:
Khoảng thời gian (a;b)(a;b) mà độ sâu của nước trong kênh tăng dần là (8,20)(8,20).

Cuối cùng, tính giá trị của a+ba+b:

a+b=8+20=28a+b=8+20=28
=> Kết quả: a+b=28a+b=28.