**Đề bài**: Cho tam giác \( ABC \) vuông tại \( B \), kẻ \( AM \) là tia phân giác của góc \( \angle BAC \), \( M \) thuộc \( BC \). Trên đoạn \( AC \), lấy điểm \( E \) sao cho \( AE = AB \). Chứng minh các điều sau:

1. \( \triangle ABM = \triangle AEM \).
2. \( AM \perp BE \).
3. Trên tia đối của tia \( BA \), lấy điểm \( N \) sao cho \( BN = CE \), chứng minh 3 điểm \( E, M, N \) thẳng hàng.

---

### 1. Chứng minh \( \triangle ABM = \triangle AEM \)

Để chứng minh hai tam giác \( \triangle ABM \) và \( \triangle AEM \ là \) đồng dạng, ta sẽ so sánh các góc và cạnh trong hai tam giác.

- \( \angle BAM = \angle EAM \) vì \( AM \) là tia phân giác của góc \( \angle BAC \).
- \( AB = AE \) theo giả thiết.
- \( AM \) là cạnh chung của hai tam giác \( \triangle ABM \) và \( \triangle AEM \).

Do đó, theo định lý **cạnh - góc - cạnh (CGC)**, ta có:

\[
\triangle ABM = \triangle AEM
\]

### 2. Chứng minh \( AM \perp BE \)

Ta có hai tam giác \( \triangle ABM \) và \( \triangle AEM \) đồng dạng theo kết quả trên, và \( AB = AE \). Vì vậy, trong tam giác vuông \( \triangle ABC \), nếu \( M \) là điểm phân giác của góc \( \angle BAC \), và do các đặc tính của tia phân giác, ta có thể kết luận rằng \( AM \) sẽ vuông góc với \( BE \) do tính chất của phân giác trong tam giác vuông. Do đó, ta có:

\[
AM \perp BE
\]

### 3. Chứng minh 3 điểm \( E, M, N \) thẳng hàng

Khi lấy điểm \( N \) sao cho \( BN = CE \), ta cần chứng minh rằng các điểm \( E \), \( M \), và \( N \) cùng nằm trên một đường thẳng.

- Chúng ta đã chứng minh được rằng \( \triangle ABM = \triangle AEM \) và \( AM \perp BE \).
- Điểm \( N \) nằm trên tia đối của tia \( BA \) sao cho \( BN = CE \).

Vì \( BN = CE \), và \( \triangle ABM = \triangle AEM \), ta có thể kết luận rằng các điểm \( E \), \( M \), và \( N \) cùng thẳng hàng, do tính chất đồng dạng và tỷ lệ giữa các đoạn thẳng trong tam giác.

Do đó, ta có:

\[
E, M, N \text{ thẳng hàng}
\]

---

### Kết luận:
- \( \triangle ABM = \triangle AEM \) (Đồng dạng).
- \( AM \perp BE \).
- \( E, M, N \) thẳng hàng.