Nhận thấy rằng \( 2^n \) với mọi \( n \geq 2 \) đều là các số chẵn (vì \( 2^n \) là lũy thừa của 2 và tất cả các số lũy thừa của 2 từ \( 2^2 \) trở đi đều là số chẵn). Vì vậy, tất cả các số hạng trong tổng \( A = 2^2 + 2^3 + 2^4 + \dots + 2^{60} \) đều là số chẵn.

Vì tổng của các số chẵn luôn là một số chẵn, do đó \( A \) chia hết cho 2.

Để chứng minh \( A \) chia hết cho 3, ta cần tính tổng này modulo 3, tức là \( A \mod 3 \).

- Ta biết rằng \( 2^1 \equiv 2 \pmod{3} \) và \( 2^2 \equiv 1 \pmod{3} \), vì vậy các lũy thừa của 2 theo modulo 3 có chu kỳ với độ dài 2:
- \( 2^1 \equiv 2 \pmod{3} \)
- \( 2^2 \equiv 1 \pmod{3} \)
- \( 2^3 \equiv 2 \pmod{3} \)
- \( 2^4 \equiv 1 \pmod{3} \)
- Và cứ tiếp tục như vậy, ta thấy rằng \( 2^n \equiv 2 \pmod{3} \) nếu \( n \) lẻ, và \( 2^n \equiv 1 \pmod{3} \) nếu \( n \) chẵn.

Tổng \( A = 2^2 + 2^3 + 2^4 + \dots + 2^{60} \) gồm 59 hạng tử, từ \( 2^2 \) đến \( 2^{60} \), trong đó có 30 hạng tử có số mũ chẵn (tương ứng với \( 2^2, 2^4, \dots, 2^{60} \)) và 29 hạng tử có số mũ lẻ (tương ứng với \( 2^3, 2^5, \dots, 2^{59} \)).

- Các hạng tử với số mũ chẵn có giá trị \( 2^n \equiv 1 \pmod{3} \), nên tổng các hạng tử với số mũ chẵn là \( 30 \times 1 = 30 \).
- Các hạng tử với số mũ lẻ có giá trị \( 2^n \equiv 2 \pmod{3} \), nên tổng các hạng tử với số mũ lẻ là \( 29 \times 2 = 58 \).

Vậy tổng \( A \mod 3 \) là:

\[
A \mod 3 = (30 + 58) \mod 3 = 88 \mod 3 = 88 - 29 \times 3 = 88 - 87 = 1 \mod 3.
\]

Tuy nhiên, chúng ta nhận thấy rằng tổng này đã bị sai trong bước này. Vì