Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

\[
S(x) = \sum_{n=1}^{\infty} x^n = \frac{x}{1 - x} \quad \text{(với \( |x| < 1 \))}
\]

Ta có thể tính tổng của chuỗi \( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n \) bằng cách lấy đạo hàm của chuỗi \( S(x) \) theo \( x \).

\[
S(x) = \frac{x}{1 - x}
\]

\[
S'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{x}{1 - x} \right) = \frac{1}{(1 - x)^2}
\]

\[
\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1} = \frac{1}{(1 - x)^2}
\]

Nhân cả hai vế với \( x \) để có chuỗi \( \sum_{n=1}^{\infty} n x^n \):

\[
\sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1 - x)^2}
\]

Ta cần tính tổng của chuỗi \( \sum_{n=1}^{2024} \frac{n}{3^n} \). Áp dụng công thức trên với \( x = \frac{1}{3} \):

\[
\sum_{n=1}^{\infty} n \left( \frac{1}{3} \right)^n = \frac{\frac{1}{3}}{\left( 1 - \frac{1}{3} \right)^2} = \frac{\frac{1}{3}}{\left( \frac{2}{3} \right)^2} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{4}{9}} = \frac{3}{4}
\]

Do chuỗi \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3^n} \) là một chuỗi vô hạn, nhưng bài toán chỉ yêu cầu tính tổng từ \( n = 1 \) đến \( n = 2024 \), nên tổng này có thể xấp xỉ bằng tổng vô hạn.

Vậy, tổng của dãy \( A \) có thể được ước tính gần đúng là:

\[
A \approx \frac{3}{4}
\]

...Xem thêm

Answer 2