Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Để chứng minh rằng
A=3+33+35+37+…+32021
là một bội của 13, chúng ta sẽ tìm cách tính tổng này và kiểm tra tính chia hết cho 13 của nó.

### 1. Số lượng hạng tử trong
A

Hạng tử đầu tiên là
31
và hạng tử cuối là
32021
. Các hạng tử của tổng này là các số lẻ từ 1 đến 2021.

Ta có thể tính số lượng hạng tử:
- Các số lẻ từ 1 đến 2021 là
1,3,5,…,2021
.
- Dãy số lẻ có dạng
an=2n−1
, trong đó
n
là số thứ tự (1, 2, 3,...). Để tìm
n
cho
an=2021
:
2n−1=2021⟹2n=2022⟹n=1011

Vậy dãy số có 1011 hạng tử.

### 2. Tổng
A

Chúng ta có thể viết tổng
A
dưới dạng tổng cấp số cơ sở
3
:
A=∑k=050532k+1=3∑k=0505(32)k=3∑k=05059k

### 3. Tính tổng
∑505k=09k

Tổng của dãy cấp số nhân có công bội
q=9
:
∑k=0nqk=qn+1−1q−1

Áp dụng vào đây với
n=505
và
q=9
:
∑k=05059k=9506−19−1=9506−18

### 4. Thay vào tổng
A

Từ đó ta có:
A=3∑k=05059k=3⋅9506−18=3(9506−1)8

### 5. Chứng minh
A
là bội của 13

Để chứng minh
A
là bội của 13, ta sẽ xem xét
9506
mô đun 13.

- Tính
9mod13
:
9≡9mod13

- Tính
92mod13
:
92=81mod13≡3

- Tính
93mod13
:
93=9⋅92=9⋅3=27mod13≡1

Ta có được
93≡1mod13
, do đó
9506=(93)168⋅92≡1168⋅92≡3mod13
.

### Tính
9506−1mod13
:
9506−1≡3−1≡2mod13

### 6. Tính
Amod13

Ta cần tính
A
:
A≡3(9506−1)8≡3⋅28mod13

Trước tiên, tính
3⋅2mod13
:
3⋅2=6

Tiếp theo, chúng ta cần tính
68mod13
. Ta cần tìm nghịch đảo của 8 mod 13. Sử dụng thuật toán Euclide mở rộng, ta tìm thấy
8⋅5≡1mod13
, vậy
5
là nghịch đảo của
8
mod
13
.

Tính tiếp:
68≡6⋅5≡30mod13≡4mod13

### Kết luận

Từ kết quả trên:
A≡4mod13

Do đó, xét lại chỗ chia, nhận thấy rằng
A
không là bội của 13! Mời bạn kiểm tra lại cách tính để có kết quả đúng hơn nhé!

...Xem thêm

Answer 2