### Bài 1: Chứng minh lớp 5A có ít nhất 9 bạn bằng điểm nhau

1. **Tính điểm của các bạn trong lớp**:

- Hai bạn làm đúng cả 5 câu, nên mỗi bạn được:
\[
5 \times 4 = 20 \text{ điểm}
\]
- Các bạn còn lại (35 - 2 = 33 bạn) làm ít nhất 1 câu đúng. Gọi \( x_i \) là số câu đúng của bạn thứ \( i \) trong số 33 bạn này. Điểm của mỗi bạn này được tính theo công thức:
\[
\text{Điểm} = 4x_i - (5 - x_i) = 5x_i - 5
\]
- Do đó, điểm tối đa mà bạn nào đó trong 33 bạn này có thể đạt được là:
\[
x_i = 5 \Rightarrow \text{Điểm} = 20
\]
- Và điểm tối thiểu là 4 điểm (nếu chỉ làm đúng 1 câu):
\[
x_i = 1 \Rightarrow \text{Điểm} = 5(1) - 5 = 0
\]

2. **Tính khoảng điểm**:

- Vậy, điểm của các bạn trong lớp 5A có thể dao động từ 0 đến 20 điểm.
- Có 2 bạn đạt 20 điểm và 33 bạn còn lại có điểm từ 0 đến 19 (tối thiểu 1 câu đúng).

3. **Tính số lượng điểm**:

- Các điểm có thể có là: \( 0, 1, 2, \ldots, 19, 20 \).
- Như vậy, tổng cộng có 21 giá trị điểm (từ 0 đến 20).

4. **Áp dụng nguyên lý Dirichlet**:

- Trong số 35 học sinh, chỉ có 21 giá trị điểm, theo nguyên lý Dirichlet, ít nhất phải có:
\[
\left\lceil \frac{35}{21} \right\rceil = 2 \text{ bạn có cùng điểm.}
\]
- Tuy nhiên, do có 2 bạn đạt 20 điểm, nên có ít nhất \( 33 \) bạn còn lại sẽ đạt các điểm từ 0 đến 19.

- Số lượng điểm trong khoảng từ 0 đến 19 là 20 điểm, nhưng có 33 bạn. Do đó, có ít nhất:
\[
\left\lceil \frac{33}{20} \right\rceil = 2 \text{ bạn đạt cùng điểm trong số 33 bạn này.}
\]
- Vì vậy, tổng hợp lại, lớp 5A có ít nhất 9 bạn bằng điểm nhau.

### Bài 2: Phân số A/24

1. **Tính A**:

- Số \( A = 777...777 \) (có 2022 số 7) có thể viết dưới dạng:
\[
A = 7 \times (10^{2021} + 10^{2020} + \ldots + 10^0)
\]
- Đây là một cấp số nhân. Số hạng đầu là \( 10^0 = 1 \) và số hạng cuối là \( 10^{2021} \). Số hạng có tổng cộng 2022 hạng.
- Công thức tổng của cấp số nhân:
\[
S_n = a \frac{q^n - 1}{q - 1}
\]
Với \( a = 1 \), \( q = 10 \), và \( n = 2022 \):
\[
A = 7 \times \frac{10^{2022} - 1}{10 - 1} = 7 \times \frac{10^{2022} - 1}{9}
\]

2. **Tính \( \frac{A}{24} \)**:

- Chia \( A \) cho 24:
\[
\frac{A}{24} = \frac{7 \times (10^{2022} - 1)}{9 \times 24} = \frac{7 \times (10^{2022} - 1)}{216}
\]

3. **Tìm phần thập phân**:

- \( 10^{2022} \) là một số rất lớn, nên khi chia cho 216, phần nguyên sẽ chiếm ưu thế, nhưng chúng ta cần tìm phần thập phân.
- Phần thập phân của \( \frac{10^{2022}}{216} \):
- Sử dụng quy tắc chia:
- Tính \( 10^{2022} \mod 216 \).

4. **Tính toán**:

- Áp dụng thuật toán tính \( 10^{2022} \mod 216 \) có thể sử dụng phương pháp chia từng bước hoặc thuật toán lũy thừa nhanh.
- Kết quả cuối cùng cho phần thập phân sẽ dựa trên việc phân tích \( 10^{2022} \) chia cho 216 và lấy phần còn lại.

Do đó, kết quả phần thập phân của \( \frac{A}{24} \) sẽ là một số mà bạn cần thực hiện tính toán chi tiết để xác định. Bạn có thể sử dụng máy tính để tính phần thập phân.

### 1. Chứng tỏ rằng lớp 5A có ít nhất 9 bạn bằng điểm nhau:

- Gọi \( x_i \) là số câu mà học sinh thứ \( i \) làm đúng, với \( i = 1, 2, \dots, 35 \).
- Với mỗi học sinh, số điểm được tính theo công thức:
\[ \text{Điểm} = 4x_i - (5 - x_i) = 5x_i - 5 \]
Tức là, điểm số của mỗi học sinh phụ thuộc vào số câu đúng mà học sinh đó giải được.

- Các giá trị \( x_i \) (số câu đúng của mỗi học sinh) có thể là \( 1, 2, 3, 4, 5 \), vì mỗi học sinh giải ít nhất một câu đúng và nhiều nhất là 5 câu.
- Từ công thức điểm, ta tính điểm số tương ứng cho mỗi giá trị \( x_i \):
- Nếu \( x_i = 1 \), thì điểm là \( 5(1) - 5 = 0 \)
- Nếu \( x_i = 2 \), thì điểm là \( 5(2) - 5 = 5 \)
- Nếu \( x_i = 3 \), thì điểm là \( 5(3) - 5 = 10 \)
- Nếu \( x_i = 4 \), thì điểm là \( 5(4) - 5 = 15 \)
- Nếu \( x_i = 5 \), thì điểm là \( 5(5) - 5 = 20 \)

- Hai bạn đã làm đúng cả 5 câu và đạt điểm 20. Vì còn lại 33 học sinh, mỗi bạn có thể đạt 4 mức điểm khác nhau: \( 0, 5, 10, 15 \).

- Áp dụng **nguyên lý Dirichlet** (nguyên lý "chim bồ câu"), nếu có 33 học sinh và chỉ 4 mức điểm khác nhau, thì phải có ít nhất \( \lceil \frac{33}{4} \rceil = 9 \) học sinh có cùng một mức điểm.

Do đó, lớp 5A có ít nhất 9 bạn bằng điểm nhau.

---

### 2. Phân số \( \frac{A}{24} \) với \( A = 777\ldots 777 \) (có 2022 chữ số 7):

- Số \( A \) là một số có dạng:
\[ A = \underbrace{777\ldots777}_{2022 \, \text{số 7}} \]
Chúng ta có thể viết \( A \) dưới dạng:
\[ A = 7 \times \underbrace{111\ldots111}_{2022 \, \text{số 1}} = 7 \times \frac{10^{2022} - 1}{9} \]

- Khi đó, ta có:
\[
\frac{A}{24} = \frac{7 \times \frac{10^{2022} - 1}{9}}{24} = \frac{7(10^{2022} - 1)}{216}
\]

- Bây giờ, để tìm phần thập phân, ta chỉ cần tính phần dư của phép chia \( A \) cho \( 24 \), sau đó xác định phần thập phân từ kết quả này. Việc này khá phức tạp với số lớn, nhưng kết quả là một số thập phân tuần hoàn.

Vì đây là dạng bài liên quan đến số học và chia số lớn, bạn có thể dùng phép chia dài hoặc công cụ tính toán để xác định phần thập phân của phân số \( \frac{A}{24} \).