Để tính giá trị của \( A = 1 + 11 + 111 + \ldots + 111\ldots11 \) (với 9 chữ số 1), ta có thể biểu diễn \( A \) như sau:

\[
A = 1 + 11 + 111 + \ldots + \underbrace{111\ldots111}_{9 \text{ chữ số } 1}
\]

Mỗi số trong tổng này có thể được viết dưới dạng tổng của các lũy thừa của 10. Ví dụ:
- \( 1 = 1 \)
- \( 11 = 10 + 1 \)
- \( 111 = 100 + 10 + 1 \)

Như vậy, ta có thể tổng quát rằng số có \( n \) chữ số 1 có thể viết dưới dạng:

\[
111\ldots111 \text{ (n chữ số 1)} = 10^{n-1} + 10^{n-2} + \ldots + 10^1 + 10^0
\]

Giờ ta sẽ tính tổng của các số từ \( 1 \) đến \( 111\ldots111 \) với 9 chữ số 1.

\[
A = 1 + (10 + 1) + (100 + 10 + 1) + \ldots + (10^8 + 10^7 + \ldots + 10^1 + 10^0)
\]

Để tính giá trị của A=1+11+111+…+111…11A=1+11+111+…+111…11 (với 9 chữ số 1), ta có thể biểu diễn AA như sau:

A=1+11+111+…+111…1119 chữ số 1A=1+11+111+…+111…111⏟9 chữ số 1

Mỗi số trong tổng này có thể được viết dưới dạng tổng của các lũy thừa của 10. Ví dụ:
- 1=11=1
- 11=10+111=10+1
- 111=100+10+1111=100+10+1

Như vậy, ta có thể tổng quát rằng số có nn chữ số 1 có thể viết dưới dạng:

111…111 (n chữ số 1)=10n−1+10n−2+…+101+100111…111 (n chữ số 1)=10n−1+10n−2+…+101+100

Giờ ta sẽ tính tổng của các số từ 11 đến 111…111111…111 với 9 chữ số 1.

A=1+(10+1)+(100+10+1)+…+(108+107+…+101+100)