Để chứng minh rằng không tồn tại giá trị nào của \( x \) và \( y \) để hai đa thức \( A \) và \( B \) cùng có giá trị âm, ta sẽ phân tích từng đa thức.

1. **Xét đa thức \( A \)**:

\[
A = -x^2 + 4xy + 2x^2 = x^2 + 4xy
\]

2. **Xét đa thức \( B \)**:

\[
B = 3y^2 - y^2 - 4xy = 2y^2 - 4xy
\]

### Bước 1: Xét điều kiện \( A < 0 \)

Ta cần \( A < 0 \):

\[
x^2 + 4xy < 0
\]

Điều này có thể viết lại thành:

\[
x^2 < -4xy
\]

### Bước 2: Xét điều kiện \( B < 0 \)

Ta cần \( B < 0 \):

\[
2y^2 - 4xy < 0
\]

Điều này có thể viết lại thành:

\[
2y^2 < 4xy \implies y^2 < 2xy
\]

### Bước 3: Phân tích các điều kiện

**Từ điều kiện \( A < 0 \):**

- Nếu \( x \neq 0 \), ta chia cả hai vế cho \( x^2 \) (x > 0 hay x < 0) để có:

\[
1 < -4 \frac{y}{x} \implies \frac{y}{x} < -\frac{1}{4}
\]

- Nếu \( x = 0 \), \( A = 0 \), không thỏa mãn điều kiện.

**Từ điều kiện \( B < 0 \):**

- Nếu \( y \neq 0 \), ta chia cả hai vế cho \( y^2 \):

\[
2 < 4 \frac{x}{y} \implies \frac{x}{y} > \frac{1}{2}
\]

- Nếu \( y = 0 \), \( B = 0 \), không thỏa mãn điều kiện.

### Bước 4: Tìm nghiệm chung

Ta có hai điều kiện:

1. \(\frac{y}{x} < -\frac{1}{4}\)
2. \(\frac{x}{y} > \frac{1}{2}\)

Từ điều kiện thứ nhất, ta có \( y < -\frac{1}{4} x \).

Từ điều kiện thứ hai, ta có \( x > \frac{1}{2} y \).

### Bước 5: Phân tích hai điều kiện

- Từ \( y < -\frac{1}{4} x \) ta có \( y \) âm.
- Từ \( x > \frac{1}{2} y \), nếu \( y < 0 \), ta cũng có \( x \) âm.

Điều này tạo ra một mâu thuẫn, vì không có giá trị nào của \( x \) và \( y \) thỏa mãn đồng thời cả hai điều kiện \( y < -\frac{1}{4} x \) và \( x > \frac{1}{2} y \).

### Kết luận

Vì vậy, không tồn tại giá trị nào của \( x \) và \( y \) để hai đa thức \( A \) và \( B \) cùng có giá trị âm.

Để chứng minh rằng không tồn tại giá trị nào của xx và yy để hai đa thức AA và BB cùng có giá trị âm, ta sẽ phân tích từng đa thức.

1. **Xét đa thức AA**:

A=−x2+4xy+2x2=x2+4xyA=−x2+4xy+2x2=x2+4xy

2. **Xét đa thức BB**:

B=3y2−y2−4xy=2y2−4xyB=3y2−y2−4xy=2y2−4xy

### Bước 1: Xét điều kiện A<0A<0

Ta cần A<0A<0:

x2+4xy<0x2+4xy<0

Điều này có thể viết lại thành:

x2<−4xyx2<−4xy

### Bước 2: Xét điều kiện B<0B<0

Ta cần B<0B<0:

2y2−4xy<02y2−4xy<0

Điều này có thể viết lại thành:

2y2<4xy⟹y2<2xy2y2<4xy⟹y2<2xy

### Bước 3: Phân tích các điều kiện

**Từ điều kiện A<0A<0:**

- Nếu x≠0x≠0, ta chia cả hai vế cho x2x2 (x > 0 hay x < 0) để có:

1<−4yx⟹yx<−141<−4yx⟹yx<−14

- Nếu x=0x=0, A=0A=0, không thỏa mãn điều kiện.

**Từ điều kiện B<0B<0:**

- Nếu y≠0y≠0, ta chia cả hai vế cho y2y2:

2<4xy⟹xy>122<4xy⟹xy>12

- Nếu y=0y=0, B=0B=0, không thỏa mãn điều kiện.

### Bước 4: Tìm nghiệm chung

Ta có hai điều kiện:

1. yx<−14yx<−14
2. xy>12xy>12

Từ điều kiện thứ nhất, ta có y<−14xy<−14x.

Từ điều kiện thứ hai, ta có x>12yx>12y.

### Bước 5: Phân tích hai điều kiện

- Từ y<−14xy<−14x ta có yy âm.
- Từ x>12yx>12y, nếu y<0y<0, ta cũng có xx âm.

Điều này tạo ra một mâu thuẫn, vì không có giá trị nào của xx và yy thỏa mãn đồng thời cả hai điều kiện y<−14xy<−14x và x>12yx>12y.

### Kết luận

Vì vậy, không tồn tại giá trị nào của xx và yy để hai đa thức AA và BB cùng có giá trị âm.

Để chứng minh rằng không tồn tại giá trị nào của xx và yy để hai đa thức AA và BB cùng có giá trị âm, ta sẽ phân tích từng đa thức.

1. **Xét đa thức AA**:

A=−x2+4xy+2x2=x2+4xyA=−x2+4xy+2x2=x2+4xy

2. **Xét đa thức BB**:

B=3y2−y2−4xy=2y2−4xyB=3y2−y2−4xy=2y2−4xy

### Bước 1: Xét điều kiện A<0A<0

Ta cần A<0A<0:

x2+4xy<0x2+4xy<0

Điều này có thể viết lại thành:

x2<−4xyx2<−4xy

### Bước 2: Xét điều kiện B<0B<0

Ta cần B<0B<0:

2y2−4xy<02y2−4xy<0

Điều này có thể viết lại thành:

2y2<4xy⟹y2<2xy2y2<4xy⟹y2<2xy

### Bước 3: Phân tích các điều kiện

**Từ điều kiện A<0A<0:**

- Nếu x≠0x≠0, ta chia cả hai vế cho x2x2 (x > 0 hay x < 0) để có:

1<−4yx⟹yx<−141<−4yx⟹yx<−14

- Nếu x=0x=0, A=0A=0, không thỏa mãn điều kiện.

**Từ điều kiện B<0B<0:**

- Nếu y≠0y≠0, ta chia cả hai vế cho y2y2:

2<4xy⟹xy>122<4xy⟹xy>12

- Nếu y=0y=0, B=0B=0, không thỏa mãn điều kiện.

### Bước 4: Tìm nghiệm chung

Ta có hai điều kiện:

1. yx<−14yx<−14
2. xy>12xy>12

Từ điều kiện thứ nhất, ta có y<−14xy<−14x.

Từ điều kiện thứ hai, ta có x>12yx>12y.

### Bước 5: Phân tích hai điều kiện

- Từ y<−14xy<−14x ta có yy âm.
- Từ x>12yx>12y, nếu y<0y<0, ta cũng có xx âm.

Điều này tạo ra một mâu thuẫn, vì không có giá trị nào của xx và yy thỏa mãn đồng thời cả hai điều kiện y<−14xy<−14x và x>12yx>12y.

### Kết luận

Vì vậy, không tồn tại giá trị nào của xx và yy để hai đa thức AA và BB cùng có giá trị âm.