Cho n là số tự nhiên lớn hơn hoặc bằng 2. CMR A=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)-5n(n+1)(n+2) chia hết cho 30

Hà Phương Nguyễn Hỏi từ APP VIETJACK

đã hỏi trong Lớp 6 Văn học

· 18:30 16/10/2024

Trả Lời (+5 điểm)

Hỏi chi tiết

Quảng cáo

2 câu trả lời 129

Chinh nè

1 năm trước

Để chứng minh biểu thức \( A = (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) - 5n(n+1)(n+2) \) chia hết cho 30 với \( n \geq 2 \), ta đi qua các bước sau:

### Bước 1: Phân tích biểu thức
Ta viết lại biểu thức \( A \) thành dạng gọn hơn:

\[
A = [(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)] - [5n(n+1)(n+2)]
\]

Đặt \( B = n(n+1)(n+2) \), ta có:

\[
A = (n-2)(n-1)B - 5B = B[(n-2)(n-1) - 5]
\]

Mở rộng biểu thức \( (n-2)(n-1) \):

\[
(n-2)(n-1) = n^2 - 3n + 2
\]

Do đó, \( A \) trở thành:

\[
A = B[(n^2 - 3n + 2) - 5] = B(n^2 - 3n - 3)
\]

### Bước 2: Xét tính chia hết cho 30

Số 30 có các ước nguyên tố là \( 2, 3, 5 \), do đó ta cần chứng minh rằng \( A \) chia hết cho cả 2, 3 và 5.

#### Chứng minh \( A \) chia hết cho 2
Vì \( B = n(n+1)(n+2) \) là tích của ba số tự nhiên liên tiếp, nên \( B \) luôn chia hết cho 2. Do đó, \( A = B(n^2 - 3n - 3) \) cũng chia hết cho 2.

#### Chứng minh \( A \) chia hết cho 3
Tương tự, \( B = n(n+1)(n+2) \) là tích của ba số liên tiếp, trong đó luôn có ít nhất một số chia hết cho 3. Do đó, \( B \) chia hết cho 3 và \( A = B(n^2 - 3n - 3) \) cũng chia hết cho 3.

#### Chứng minh \( A \) chia hết cho 5
Vì \( B = n(n+1)(n+2) \) là tích của ba số liên tiếp, ít nhất một trong các số \( n \), \( n+1 \), \( n+2 \) chia hết cho 5. Do đó, \( B \) chia hết cho 5, và suy ra \( A = B(n^2 - 3n - 3) \) cũng chia hết cho 5.

### Kết luận
Vì \( A \) chia hết cho 2, 3 và 5, nên \( A \) chia hết cho \( 2 \times 3 \times 5 = 30 \).

Vậy ta đã chứng minh rằng \( A \) chia hết cho 30.

...Xem thêm

0 bình luận

Đăng nhập để hỏi chi tiết

vu duy anh

1 năm trước

Để chứng minh biểu thức \( A = (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) - 5n(n+1)(n+2) \) chia hết cho 30 với \( n \geq 2 \), ta thực hiện các bước sau:

### Bước 1: Đặt biểu thức
Ta thấy rằng cả hai phần của biểu thức \( A \) đều có chứa \( n(n+1)(n+2) \). Do đó, ta có thể đặt \( n(n+1)(n+2) \) làm nhân tử chung:

\[
A = n(n+1)(n+2) \left[ (n-2)(n-1) - 5 \right]
\]

### Bước 2: Tính toán biểu thức trong dấu ngoặc
Ta khai triển \( (n-2)(n-1) \):

\[
(n-2)(n-1) = n^2 - 3n + 2
\]

Khi đó, biểu thức trong dấu ngoặc trở thành:

\[
(n^2 - 3n + 2) - 5 = n^2 - 3n - 3
\]

Vậy, ta có:

\[
A = n(n+1)(n+2)(n^2 - 3n - 3)
\]

### Bước 3: Chứng minh chia hết cho 30
Biểu thức \( A \) là tích của \( n(n+1)(n+2)(n^2 - 3n - 3) \). Để chứng minh \( A \) chia hết cho 30, ta cần chứng minh nó chia hết cho cả 2, 3 và 5.

1. **Chia hết cho 2**: Trong ba số \( n, n+1, n+2 \), chắc chắn có ít nhất một số là chẵn, nên tích này luôn chia hết cho 2.

2. **Chia hết cho 3**: Trong ba số \( n, n+1, n+2 \), chắc chắn có ít nhất một số chia hết cho 3, nên tích này chia hết cho 3.

3. **Chia hết cho 5**: Trong ba số \( n, n+1, n+2 \), chắc chắn có ít nhất một số chia hết cho 5, nên tích này chia hết cho 5.

Vì \( n(n+1)(n+2) \) luôn chia hết cho 2, 3 và 5, nên biểu thức \( A \) chia hết cho 30.

### Kết luận:
\[
A = (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) - 5n(n+1)(n+2)
\]
chia hết cho 30 với \( n \geq 2 \).

...Xem thêm

24 bình luận

1 ( 5.0 )