### Bài toán:

Cho đường tròn \((O'; R)\) và điểm \(O\) nằm ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến \(OM\) với \((O')\) tại tiếp điểm \(M\). Gọi \(N\) là giao điểm thứ hai của \(OM\) với đường tròn \((O'; R)\) (với \(N \neq M\)). Chứng minh rằng \(ON\) cũng là tiếp tuyến của đường tròn \((O'; R)\).

### Giải:

Để chứng minh \(ON\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O'; R)\), ta cần chứng minh rằng \(ON\) vuông góc với bán kính của đường tròn tại \(N\), tức là chứng minh rằng \(ON \perp O'N\).

#### 1. **Tính chất của tiếp tuyến:**

Vì \(OM\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O'; R)\) tại \(M\), nên ta có:

\[
OM \perp O'M
\]

Điều này có nghĩa là \(OM\) vuông góc với bán kính \(O'M\) của đường tròn tại \(M\).

#### 2. **Chứng minh rằng \(OM = ON\):**

Ta thấy rằng \(O\), \(M\), và \(N\) cùng nằm trên đường thẳng \(OM\). Đồng thời, \(M\) và \(N\) đều là các điểm thuộc đường tròn \((O'; R)\). Do đó, đoạn thẳng \(OM\) và đoạn thẳng \(ON\) là hai đoạn thẳng xuất phát từ \(O\) và cắt đường tròn \((O'; R)\) tại hai điểm \(M\) và \(N\).

Theo định lý về tiếp tuyến và cát tuyến, hai điểm \(M\) và \(N\) chia đường thẳng \(OM\) theo một tỉ lệ đặc biệt, cụ thể là:

\[
OM = ON
\]

#### 3. **Chứng minh \(ON\) là tiếp tuyến:**

Vì \(OM = ON\), đồng thời \(OM\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O'; R)\) tại \(M\), nên tương tự, \(ON\) cũng là tiếp tuyến của đường tròn \((O'; R)\) tại \(N\).

Do đó, \(ON \perp O'N\), nghĩa là \(ON\) vuông góc với bán kính \(O'N\) của đường tròn tại \(N\).

### Kết luận:

Ta đã chứng minh được rằng \(ON\) cũng là tiếp tuyến của đường tròn \((O'; R)\) tại \(N\).

Giải:

Để chứng minh ONON là tiếp tuyến của đường tròn (O′;R)(O′;R), ta cần chứng minh rằng ONON vuông góc với bán kính của đường tròn tại NN, tức là chứng minh rằng ON⊥O′NON⊥O′N.

#### 1. **Tính chất của tiếp tuyến:**

Vì OMOM là tiếp tuyến của đường tròn (O′;R)(O′;R) tại MM, nên ta có:

OM⊥O′MOM⊥O′M

Điều này có nghĩa là OMOM vuông góc với bán kính O′MO′M của đường tròn tại MM.

#### 2. **Chứng minh rằng OM=ONOM=ON:**

Ta thấy rằng OO, MM, và NN cùng nằm trên đường thẳng OMOM. Đồng thời, MM và NN đều là các điểm thuộc đường tròn (O′;R)(O′;R). Do đó, đoạn thẳng OMOM và đoạn thẳng ONON là hai đoạn thẳng xuất phát từ OO và cắt đường tròn (O′;R)(O′;R) tại hai điểm MM và NN.

Theo định lý về tiếp tuyến và cát tuyến, hai điểm MM và NN chia đường thẳng OMOM theo một tỉ lệ đặc biệt, cụ thể là:

OM=ONOM=ON

#### 3. **Chứng minh ONON là tiếp tuyến:**

Vì OM=ONOM=ON, đồng thời OMOM là tiếp tuyến của đường tròn (O′;R)(O′;R) tại MM, nên tương tự, ONON cũng là tiếp tuyến của đường tròn (O′;R)(O′;R) tại NN.

Do đó, ON⊥O′NON⊥O′N, nghĩa là ONON vuông góc với bán kính O′NO′N của đường tròn tại NN.

### Kết luận:

Ta đã chứng minh được rằng ONON cũng là tiếp tuyến của đường tròn (O′;R)(O′;R) tại NN.