Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Để giải bài toán này, ta gọi số sách trong thư viện là \( N \). Theo đề bài, \( N \) dư 3 khi chia cho 10, 12, và 15. Ta có thể diễn đạt điều này bằng các phương trình:

\[
N \equiv 3 \mod 10
\]
\[
N \equiv 3 \mod 12
\]
\[
N \equiv 3 \mod 15
\]

Ta có thể viết lại các phương trình trên thành:

\[
N - 3 \equiv 0 \mod 10
\]
\[
N - 3 \equiv 0 \mod 12
\]
\[
N - 3 \equiv 0 \mod 15
\]

Điều này có nghĩa là \( N - 3 \) là bội số chung của 10, 12 và 15. Ta cần tìm bội số chung nhỏ nhất (BCNN) của 10, 12, và 15.

- Phân tích các số nguyên tố:
- \( 10 = 2 \times 5 \)
- \( 12 = 2^2 \times 3 \)
- \( 15 = 3 \times 5 \)

BCNN được tính bằng cách lấy tích của mỗi yếu tố nguyên tố với số mũ lớn nhất xuất hiện trong các phân tích:

\[
\text{BCNN}(10, 12, 15) = 2^2 \times 3^1 \times 5^1 = 4 \times 3 \times 5 = 60
\]

Do đó, \( N - 3 \) là bội số của 60, tức là:

\[
N - 3 = 60k \quad \text{với } k \in \mathbb{Z}
\]

Vậy \( N \) có thể được biểu diễn là:

\[
N = 60k + 3
\]

Tiếp theo, chúng ta sẽ tìm giá trị của \( k \) sao cho \( N \) nằm trong khoảng từ 100 đến 150:

\[
100 \leq 60k + 3 \leq 150
\]

Giải bất phương trình này:

1. Từ \( 100 \leq 60k + 3 \):
\[
97 \leq 60k \implies k \geq \frac{97}{60} \approx 1.6167 \implies k \geq 2
\]

2. Từ \( 60k + 3 \leq 150 \):
\[
60k \leq 147 \implies k \leq \frac{147}{60} \approx 2.45 \implies k \leq 2
\]

Từ hai điều kiện này, ta có:

\[
k = 2
\]

Thay giá trị \( k \) vào phương trình:

\[
N = 60 \times 2 + 3 = 120 + 3 = 123
\]

Cuối cùng, kiểm tra điều kiện:

- \( 123 \mod 10 = 3 \) (đúng)
- \( 123 \mod 12 = 3 \) (đúng)
- \( 123 \mod 15 = 3 \) (đúng)

Vậy số sách trong thư viện là:

\[
\boxed{123}
\]

...Xem thêm

Answer 2