Để chứng minh rằng \( B = 5 + 5^2 + 5^3 + \ldots + 5^{96} \) chia hết cho 20, ta sẽ sử dụng công thức tổng của một cấp số nhân.

### Bước 1: Tính tổng B
Tổng \( B \) có thể viết lại dưới dạng cấp số nhân:
\[
B = 5 (1 + 5 + 5^2 + \ldots + 5^{95})
\]
Cấp số nhân trong ngoặc có số hạng đầu là 1, số hạng cuối là \( 5^{95} \), với số hạng là 96. Công thức tổng của một cấp số nhân là:
\[
S_n = a \frac{r^n - 1}{r - 1}
\]
Trong đó:
- \( a = 1 \) (số hạng đầu),
- \( r = 5 \) (công bội),
- \( n = 96 \) (số hạng).

Áp dụng công thức, ta có:
\[
1 + 5 + 5^2 + \ldots + 5^{95} = \frac{5^{96} - 1}{5 - 1} = \frac{5^{96} - 1}{4}
\]
Do đó:
\[
B = 5 \cdot \frac{5^{96} - 1}{4}
\]
\[
B = \frac{5^{97} - 5}{4}
\]

### Bước 2: Chứng minh B chia hết cho 20
Ta cần chứng minh rằng \( B \) chia hết cho 20, tức là \( \frac{5^{97} - 5}{4} \) chia hết cho 20.

Điều này tương đương với chứng minh \( 5^{97} - 5 \) chia hết cho 80 (vì \( 20 \cdot 4 = 80 \)).

### Bước 3: Xét \( 5^{97} - 5 \)
Ta có:
\[
5^{97} - 5 = 5(5^{96} - 1)
\]
Rõ ràng, \( 5^{97} - 5 \) luôn chia hết cho 5.

Tiếp theo, ta xét \( 5^{96} - 1 \) để kiểm tra xem nó có chia hết cho 16 hay không (bởi vì \( 80 = 5 \cdot 16 \)).

### Bước 4: Chứng minh \( 5^{96} \equiv 1 \mod 16 \)
Ta sẽ sử dụng định lý Fermat:
- Theo định lý Fermat, với số nguyên tố 16, \( a^{\phi(16)} \equiv 1 \mod 16 \).
- \( \phi(16) = 8 \), do đó \( 5^8 \equiv 1 \mod 16 \).

Ta có:
\[
5^{96} = (5^8)^{12} \equiv 1^{12} \equiv 1 \mod 16
\]
Do đó:
\[
5^{96} - 1 \equiv 0 \mod 16
\]

### Kết luận
Vì \( 5^{97} - 5 \) chia hết cho 5 và \( 5^{96} - 1 \) chia hết cho 16, suy ra \( 5^{97} - 5 \) chia hết cho \( 80 \).

Vì vậy, \( B = \frac{5^{97} - 5}{4} \) chia hết cho 20.

**Kết luận:** \( B \) chia hết cho 20.