Để giải phương trình \( \sin(3x + \frac{2\pi}{3}) + \sin(x - \frac{7\pi}{5}) = 0 \), ta sử dụng công thức tổng của sin:

\[
\sin A + \sin B = 0 \implies \sin A = -\sin B
\]

Ta có:

\[
\sin(3x + \frac{2\pi}{3}) = -\sin(x - \frac{7\pi}{5})
\]

Sử dụng công thức \(\sin(-\theta) = -\sin(\theta)\):

\[
\sin(3x + \frac{2\pi}{3}) = \sin\left(-\left(x - \frac{7\pi}{5}\right)\right) = \sin\left(-x + \frac{7\pi}{5}\right)
\]

Từ đó, ta có hai trường hợp:

1. \(3x + \frac{2\pi}{3} = -x + \frac{7\pi}{5} + 2k\pi\)
2. \(3x + \frac{2\pi}{3} = \pi - (-x + \frac{7\pi}{5}) + 2k\pi\)

**Giải trường hợp 1:**

\[
3x + x = \frac{7\pi}{5} - \frac{2\pi}{3} + 2k\pi
\]

Tính \(\frac{7\pi}{5} - \frac{2\pi}{3}\):

- Quy đồng mẫu số: \( \frac{7\pi}{5} = \frac{21\pi}{15} \) và \( \frac{2\pi}{3} = \frac{10\pi}{15} \)
- Vậy, \( \frac{7\pi}{5} - \frac{2\pi}{3} = \frac{21\pi}{15} - \frac{10\pi}{15} = \frac{11\pi}{15} \)

Ta có:

\[
4x = \frac{11\pi}{15} + 2k\pi \implies x = \frac{11\pi}{60} + \frac{k\pi}{2}
\]

**Giải trường hợp 2:**

\[
3x + \frac{2\pi}{3} = \pi + x - \frac{7\pi}{5} + 2k\pi
\]

Sắp xếp lại:

\[
3x - x = \pi - \frac{7\pi}{5} - \frac{2\pi}{3} + 2k\pi
\]

Tính \(\pi - \frac{7\pi}{5}\):

- Quy đồng mẫu số: \( \pi = \frac{5\pi}{5} \)
- Vậy, \( \pi - \frac{7\pi}{5} = \frac{5\pi}{5} - \frac{7\pi}{5} = -\frac{2\pi}{5} \)

Tính \(-\frac{2\pi}{5} - \frac{2\pi}{3}\):

- Quy đồng mẫu số: \(-\frac{2\pi}{5} = -\frac{6\pi}{15}\) và \(-\frac{2\pi}{3} = -\frac{10\pi}{15}\)
- Vậy, \(-\frac{2\pi}{5} - \frac{2\pi}{3} = -\frac{6\pi}{15} - \frac{10\pi}{15} = -\frac{16\pi}{15}\)

Ta có:

\[
2x = -\frac{16\pi}{15} + 2k\pi \implies x = -\frac{8\pi}{15} + k\pi
\]

**Kết quả cuối cùng:**

Các nghiệm của phương trình là:

\[
x = \frac{11\pi}{60} + \frac{k\pi}{2} \quad \text{và} \quad x = -\frac{8\pi}{15} + k\pi
\]

với \(k \in \mathbb{Z}\).

Để giải phương trình sin(3x+2π3)+sin(x−7π5)=0sin⁡(3x+2π3)+sin⁡(x−7π5)=0, ta sử dụng công thức tổng của sin:

sinA+sinB=0⟹sinA=−sinBsin⁡A+sin⁡B=0⟹sin⁡A=−sin⁡B

Ta có:

sin(3x+2π3)=−sin(x−7π5)sin⁡(3x+2π3)=−sin⁡(x−7π5)

Sử dụng công thức sin(−θ)=−sin(θ)sin⁡(−θ)=−sin⁡(θ):

sin(3x+2π3)=sin(−(x−7π5))=sin(−x+7π5)sin⁡(3x+2π3)=sin⁡(−(x−7π5))=sin⁡(−x+7π5)

Từ đó, ta có hai trường hợp:

1. 3x+2π3=−x+7π5+2kπ3x+2π3=−x+7π5+2kπ
2. 3x+2π3=π−(−x+7π5)+2kπ3x+2π3=π−(−x+7π5)+2kπ

**Giải trường hợp 1:**

3x+x=7π5−2π3+2kπ3x+x=7π5−2π3+2kπ

Tính 7π5−2π37π5−2π3:

- Quy đồng mẫu số: 7π5=21π157π5=21π15 và 2π3=10π152π3=10π15
- Vậy, 7π5−2π3=21π15−10π15=11π157π5−2π3=21π15−10π15=11π15

Ta có:

4x=11π15+2kπ⟹x=11π60+kπ24x=11π15+2kπ⟹x=11π60+kπ2

**Giải trường hợp 2:**

3x+2π3=π+x−7π5+2kπ3x+2π3=π+x−7π5+2kπ

Sắp xếp lại:

3x−x=π−7π5−2π3+2kπ3x−x=π−7π5−2π3+2kπ

Tính π−7π5π−7π5:

- Quy đồng mẫu số: π=5π5π=5π5
- Vậy, π−7π5=5π5−7π5=−2π5π−7π5=5π5−7π5=−2π5

Tính −2π5−2π3−2π5−2π3:

- Quy đồng mẫu số: −2π5=−6π15−2π5=−6π15 và −2π3=−10π15−2π3=−10π15
- Vậy, −2π5−2π3=−6π15−10π15=−16π15−2π5−2π3=−6π15−10π15=−16π15

Ta có:

2x=−16π15+2kπ⟹x=−8π15+kπ2x=−16π15+2kπ⟹x=−8π15+kπ

**Kết quả cuối cùng:**

Các nghiệm của phương trình là:

x=11π60+kπ2vàx=−8π15+kπx=11π60+kπ2vàx=−8π15+kπ

với k∈Zk∈Z.