Để tìm cặp số nguyên \((x, y)\) thỏa mãn phương trình

\[
\frac{x}{6} - \frac{2}{y} = \frac{1}{30},
\]

ta có thể thực hiện các bước sau:

### Bước 1: Đưa phương trình về dạng hợp lý

Đầu tiên, chúng ta có thể nhân cả hai vế của phương trình với \(30 \cdot 6 \cdot y\) (để loại bỏ các mẫu số):

\[
30y \cdot \frac{x}{6} - 30 \cdot 2 \cdot 6 = y.
\]

### Bước 2: Thực hiện nhân và rút gọn

Giải thích từng phần:

1. \(\frac{x}{6} \cdot 30y = 5xy\)
2. \(30 \cdot 2 \cdot 6 = 360\)

Vậy phương trình trở thành:

\[
5xy - 360 = y.
\]

### Bước 3: Đưa về dạng phương trình bậc hai

Chuyển tất cả về một bên:

\[
5xy - y - 360 = 0.
\]

Rút gọn:

\[
y(5x - 1) = 360.
\]

### Bước 4: Xét các ước số của 360

Ta cần tìm các cặp số nguyên \((x, y)\) sao cho \(y\) là ước của 360 và từ đó tìm \(x\):

- Các ước số của 360 là: \(1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 60, 72, 90, 120, 180, 360\).

### Bước 5: Tìm các cặp \((x, y)\)

Từ phương trình \(y(5x - 1) = 360\), ta có thể tìm \(x\) như sau:

\[
5x - 1 = \frac{360}{y} \implies 5x = \frac{360}{y} + 1 \implies x = \frac{360}{5y} + \frac{1}{5}.
\]

Để \(x\) là số nguyên, \(\frac{360}{5y} + \frac{1}{5}\) phải là số nguyên. Điều này có nghĩa là \(\frac{360}{5y}\) cũng phải là số nguyên, tức là \(y\) phải là ước số của \(72\) (vì \(360/5 = 72\)).

### Bước 6: Tìm các ước số của 72

Các ước số của 72 là: \(1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72\).

Giờ ta thay các ước số này vào để tìm \(x\):

1. **Nếu \(y = 1\)**:
\[
5x - 1 = 360 \implies 5x = 361 \implies x = 72.2 \quad \text{(không nguyên)}
\]

2. **Nếu \(y = 2\)**:
\[
5x - 1 = 180 \implies 5x = 181 \implies x = 36.2 \quad \text{(không nguyên)}
\]

3. **Nếu \(y = 3\)**:
\[
5x - 1 = 120 \implies 5x = 121 \implies x = 24.2 \quad \text{(không nguyên)}
\]

4. **Nếu \(y = 4\)**:
\[
5x - 1 = 90 \implies 5x = 91 \implies x = 18.2 \quad \text{(không nguyên)}
\]

5. **Nếu \(y = 6\)**:
\[
5x - 1 = 60 \implies 5x = 61 \implies x = 12.2 \quad \text{(không nguyên)}
\]

6. **Nếu \(y = 8\)**:
\[
5x - 1 = 45 \implies 5x = 46 \implies x = 9.2 \quad \text{(không nguyên)}
\]

7. **Nếu \(y = 9\)**:
\[
5x - 1 = 40 \implies 5x = 41 \implies x = 8.2 \quad \text{(không nguyên)}
\]

8. **Nếu \(y = 12\)**:
\[
5x - 1 = 30 \implies 5x = 31 \implies x = 6.2 \quad \text{(không nguyên)}
\]

9. **Nếu \(y = 18\)**:
\[
5x - 1 = 20 \implies 5x = 21 \implies x = 4.2 \quad \text{(không nguyên)}
\]

10. **Nếu \(y = 24\)**:
\[
5x - 1 = 15 \implies 5x = 16 \implies x = 3.2 \quad \text{(không nguyên)}
\]

11. **Nếu \(y = 36\)**:
\[
5x - 1 = 10 \implies 5x = 11 \implies x = 2.2 \quad \text{(không nguyên)}
\]

12. **Nếu \(y = 72\)**:
\[
5x - 1 = 5 \implies 5x = 6 \implies x = 1.2 \quad \text{(không nguyên)}
\]

### Kết luận

Ta không tìm thấy cặp số nguyên \((x, y)\) nào thỏa mãn phương trình ban đầu. Tuy nhiên, nếu mở rộng tìm số thực, ta có thể tìm được nhiều nghiệm hơn. Nếu có thêm yêu cầu hay điều chỉnh nào, hãy cho tôi biết!