**Bài 1:**
Các ước của 1896 bao gồm những số tự nhiên mà chia hết cho 1896. Ta phân tích 1896 thành tích của các số nguyên tố:
$1896 = 2^3 \times 3 \times 79$

Vậy các ước của 1896 là các số:
$1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, 79, 158, 237, 316, 474, 632, 948, 1896$

---

**Bài 2:**
Gọi hai số cần tìm là $a$ và $b$. Ta biết:
- $a \times b = 432$
- $\text{ƯCLN}(a, b) = 6$

Do ƯCLN của hai số bằng 6, ta đặt $a = 6m$ và $b = 6n$, trong đó $m$ và $n$ là hai số nguyên tố cùng nhau (tức là ƯCLN của $m$ và $n$ bằng 1).

Từ $a \times b = 432$, ta có:
$6m \times 6n = 432$
$36mn = 432$
$mn = 12$

Vậy $m$ và $n$ là các cặp số có tích bằng 12, tức là:
$(m, n) = (1, 12), (2, 6), (3, 4)$

Xét các trường hợp:
- Với $m = 1$ và $n = 12$, thì ƯCLN(1, 12) = 1 → cặp số này hợp lệ. Khi đó $a = 6 \times 1 = 6$ và $b = 6 \times 12 = 72$.
- Với $m = 2$ và $n = 6$, thì ƯCLN(2, 6) ≠ 1 → loại.
- Với $m = 3$ và $n = 4$, thì ƯCLN(3, 4) = 1 → cặp số này hợp lệ. Khi đó $a = 6 \times 3 = 18$ và $b = 6 \times 4 = 24$.

Vậy hai cặp số thỏa mãn điều kiện bài toán là $(6, 72)$ và $(18, 24)$.

---

**Bài 3:**
Giả sử $a$ và $b$ là hai số nguyên tố cùng nhau, nghĩa là ƯCLN(a, b) = 1. Ta cần chứng minh $ab$ và $ab + a + b$ là hai số nguyên tố cùng nhau, tức là ƯCLN($ab, ab + a + b$) = 1.

Gọi $d$ là ước chung của $ab$ và $ab + a + b$. Khi đó:
- $d$ chia hết cho $ab$, nghĩa là $d$ phải là ước của $a$ hoặc $b$.
- $d$ chia hết cho $ab + a + b$, ta có:
$ab + a + b - ab = a + b$
Nên $d$ cũng chia hết cho $a + b$.

Do $a$ và $b$ là hai số nguyên tố cùng nhau, ước chung duy nhất của $a$ và $b$ chỉ có thể là 1, nên ƯCLN($ab, ab + a + b$) = 1.

Vậy $ab$ và $ab + a + b$ là hai số nguyên tố cùng nhau.

---

**Bài 4:**
Xét phân số $\frac{21n + 4}{14n + 3}$, ta cần chứng minh phân số này là tối giản với mọi $n$ tự nhiên, tức là ƯCLN($21n + 4, 14n + 3$) = 1.

Giả sử $d$ là ước chung của $21n + 4$ và $14n + 3$. Ta có:
- $d$ chia hết cho $21n + 4$
- $d$ chia hết cho $14n + 3$

Sử dụng thuật toán Euclid:
$d \text{ chia hết cho } (21n + 4) - (14n + 3) = 7n + 1$
$d \text{ chia hết cho } (14n + 3) - 2 \times (7n + 1) = 1$

Do $d$ chia hết cho 1, suy ra $d = 1$.

Vậy phân số $\frac{21n + 4}{14n + 3}$ là tối giản với mọi $n$.

---

**Bài 5:**
Xét phân số $P = \frac{x^2 + 1}{x}$. Ta cần chứng minh phân số này là tối giản với mọi $x$ thuộc tập hợp số tự nhiên, tức là ƯCLN($x^2 + 1, x$) = 1.

Giả sử $d$ là ước chung của $x^2 + 1$ và $x$. Ta có:
- $d$ chia hết cho $x$
- $d$ chia hết cho $x^2 + 1$

Sử dụng thuật toán Euclid:
$d \text{ chia hết cho } (x^2 + 1) - x \times x = 1$

Do $d$ chia hết cho 1, suy ra $d = 1$.

Vậy phân số $P = \frac{x^2 + 1}{x}$ là tối giản với mọi $x$.