**Bài 1:**
Các ước của 1896 bao gồm những số tự nhiên mà chia hết cho 1896. Ta phân tích 1896 thành tích của các số nguyên tố:
\[ 1896 = 2^3 \times 3 \times 79 \]

Vậy các ước của 1896 là các số:
\[ 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, 79, 158, 237, 316, 474, 632, 948, 1896 \]

---

**Bài 2:**
Gọi hai số cần tìm là \(a\) và \(b\). Ta biết:
- \(a \times b = 432\)
- \( \text{ƯCLN}(a, b) = 6 \)

Do ƯCLN của hai số bằng 6, ta đặt \(a = 6m\) và \(b = 6n\), trong đó \(m\) và \(n\) là hai số nguyên tố cùng nhau (tức là ƯCLN của \(m\) và \(n\) bằng 1).

Từ \(a \times b = 432\), ta có:
\[ 6m \times 6n = 432 \]
\[ 36mn = 432 \]
\[ mn = 12 \]

Vậy \(m\) và \(n\) là các cặp số có tích bằng 12, tức là:
\((m, n) = (1, 12), (2, 6), (3, 4)\)

Xét các trường hợp:
- Với \(m = 1\) và \(n = 12\), thì ƯCLN(1, 12) = 1 → cặp số này hợp lệ. Khi đó \(a = 6 \times 1 = 6\) và \(b = 6 \times 12 = 72\).
- Với \(m = 2\) và \(n = 6\), thì ƯCLN(2, 6) ≠ 1 → loại.
- Với \(m = 3\) và \(n = 4\), thì ƯCLN(3, 4) = 1 → cặp số này hợp lệ. Khi đó \(a = 6 \times 3 = 18\) và \(b = 6 \times 4 = 24\).

Vậy hai cặp số thỏa mãn điều kiện bài toán là \( (6, 72) \) và \( (18, 24) \).

---

**Bài 3:**
Giả sử \(a\) và \(b\) là hai số nguyên tố cùng nhau, nghĩa là ƯCLN(a, b) = 1. Ta cần chứng minh \( ab \) và \( ab + a + b \) là hai số nguyên tố cùng nhau, tức là ƯCLN(\(ab, ab + a + b\)) = 1.

Gọi \(d\) là ước chung của \(ab\) và \( ab + a + b\). Khi đó:
- \(d \) chia hết cho \(ab\), nghĩa là \( d \) phải là ước của \(a\) hoặc \(b\).
- \(d\) chia hết cho \(ab + a + b\), ta có:
\[ ab + a + b - ab = a + b \]
Nên \(d\) cũng chia hết cho \(a + b\).

Do \(a\) và \(b\) là hai số nguyên tố cùng nhau, ước chung duy nhất của \(a\) và \(b\) chỉ có thể là 1, nên ƯCLN(\(ab, ab + a + b\)) = 1.

Vậy \(ab\) và \( ab + a + b \) là hai số nguyên tố cùng nhau.

---

**Bài 4:**
Xét phân số \( \frac{21n + 4}{14n + 3} \), ta cần chứng minh phân số này là tối giản với mọi \(n\) tự nhiên, tức là ƯCLN(\(21n + 4, 14n + 3\)) = 1.

Giả sử \(d\) là ước chung của \(21n + 4\) và \(14n + 3\). Ta có:
- \(d \) chia hết cho \(21n + 4\)
- \(d \) chia hết cho \(14n + 3\)

Sử dụng thuật toán Euclid:
\[
d \text{ chia hết cho } (21n + 4) - (14n + 3) = 7n + 1
\]
\[
d \text{ chia hết cho } (14n + 3) - 2 \times (7n + 1) = 1
\]

Do \(d\) chia hết cho 1, suy ra \(d = 1\).

Vậy phân số \( \frac{21n + 4}{14n + 3} \) là tối giản với mọi \(n\).

---

**Bài 5:**
Xét phân số \( P = \frac{x^2 + 1}{x} \). Ta cần chứng minh phân số này là tối giản với mọi \(x\) thuộc tập hợp số tự nhiên, tức là ƯCLN(\(x^2 + 1, x\)) = 1.

Giả sử \(d\) là ước chung của \(x^2 + 1\) và \(x\). Ta có:
- \(d\) chia hết cho \(x\)
- \(d\) chia hết cho \(x^2 + 1\)

Sử dụng thuật toán Euclid:
\[
d \text{ chia hết cho } (x^2 + 1) - x \times x = 1
\]

Do \(d\) chia hết cho 1, suy ra \(d = 1\).

Vậy phân số \(P = \frac{x^2 + 1}{x}\) là tối giản với mọi \(x\).