Để giải bài toán này, ta bắt đầu từ các thông tin đã cho:

1. \( a + b = \frac{\pi}{4} \)
2. \( \tan a \tan b = 3 - 2\sqrt{2} \)

Gọi \( x = \tan a \) và \( y = \tan b \). Từ công thức tang, ta biết rằng:

\[
\tan(a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b}
\]

Với \( a + b = \frac{\pi}{4} \), ta có:

\[
\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1
\]

Thay vào công thức trên, ta được:

\[
1 = \frac{x + y}{1 - xy}
\]

Từ đó, ta có thể viết lại thành:

\[
1 - xy = x + y
\]

Sắp xếp lại, ta được:

\[
x + y + xy = 1
\]

Ta cũng có thông tin từ điều kiện thứ hai:

\[
xy = 3 - 2\sqrt{2}
\]

Giờ ta có một hệ phương trình:

1. \( x + y + xy = 1 \)
2. \( xy = 3 - 2\sqrt{2} \)

Thay \( xy \) vào phương trình đầu tiên:

\[
x + y + (3 - 2\sqrt{2}) = 1
\]

Sắp xếp lại, ta có:

\[
x + y = 1 - (3 - 2\sqrt{2}) = -2 + 2\sqrt{2}
\]

Bây giờ, ta có một hệ phương trình mới:

1. \( x + y = -2 + 2\sqrt{2} \)
2. \( xy = 3 - 2\sqrt{2} \)

Giả sử \( x \) và \( y \) là các nghiệm của phương trình bậc hai:

\[
t^2 - (x+y)t + xy = 0
\]

Thay vào ta có:

\[
t^2 - (-2 + 2\sqrt{2})t + (3 - 2\sqrt{2}) = 0
\]

Phương trình này trở thành:

\[
t^2 + (2 - 2\sqrt{2})t + (3 - 2\sqrt{2}) = 0
\]

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:

\[
t = \frac{-(2 - 2\sqrt{2}) \pm \sqrt{(2 - 2\sqrt{2})^2 - 4(3 - 2\sqrt{2})}}{2}
\]

Tính giá trị của biểu thức dưới dấu căn:

\[
(2 - 2\sqrt{2})^2 = 4(1 - \sqrt{2})^2 = 4(1 - 2\sqrt{2} + 2) = 4(3 - 2\sqrt{2}) = 12 - 8\sqrt{2}
\]
\[
4(3 - 2\sqrt{2}) = 12 - 8\sqrt{2}
\]

Vậy:

\[
12 - 8\sqrt{2} - (12 - 8\sqrt{2}) = 0
\]

Do đó, phương trình có nghiệm kép, tức là:

\[
t = \frac{2 - 2\sqrt{2}}{2} = 1 - \sqrt{2}
\]

Vậy:

\[
\tan a = 1 - \sqrt{2}, \quad \tan b = 1 - \sqrt{2}
\]

Kết quả là:

\[
\tan a = 1 - \sqrt{2}, \quad \tan b = 1 - \sqrt{2}
\]

Để giải bài toán này, ta bắt đầu từ các thông tin đã cho:

1. a+b=π4
2. tanatanb=3−2√2

Gọi x=tana và y=tanb. Từ công thức tang, ta biết rằng:

tan(a+b)=tana+tanb1−tanatanb

Với a+b=π4, ta có:

tan(π4)=1

Thay vào công thức trên, ta được:

1=x+y1−xy

Từ đó, ta có thể viết lại thành:

1−xy=x+y

Sắp xếp lại, ta được:

x+y+xy=1

Ta cũng có thông tin từ điều kiện thứ hai:

xy=3−2√2

Giờ ta có một hệ phương trình:

1. x+y+xy=1
2. xy=3−2√2

Thay xy vào phương trình đầu tiên:

x+y+(3−2√2)=1

Sắp xếp lại, ta có:

x+y=1−(3−2√2)=−2+2√2

Bây giờ, ta có một hệ phương trình mới:

1. x+y=−2+2√2
2. xy=3−2√2

Giả sử x và y là các nghiệm của phương trình bậc hai:

t2−(x+y)t+xy=0

Thay vào ta có:

t2−(−2+2√2)t+(3−2√2)=0

Phương trình này trở thành:

t2+(2−2√2)t+(3−2√2)=0

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:

t=−(2−2√2)±√(2−2√2)2−4(3−2√2)2

Tính giá trị của biểu thức dưới dấu căn:

(2−2√2)2=4(1−√2)2=4(1−2√2+2)=4(3−2√2)=12−8√2
4(3−2√2)=12−8√2

Vậy:

12−8√2−(12−8√2)=0

Do đó, phương trình có nghiệm kép, tức là:

t=2−2√22=1−√2

Vậy:

tana=1−√2,tanb=1−√2

Kết quả là: