Chúng ta sẽ tính hai biểu thức $B$ và $S$ theo từng cách một.

### Câu 1: Tính $B = (2025-2024) + (2023-2022) + \ldots + (3-2)$

**Cách 1:** Tính trực tiếp

Ta nhận thấy rằng mỗi cặp $(n - (n-1))$ bằng $1$.

Số hạng đầu tiên là $(2025 - 2024) = 1$, và số hạng cuối cùng là $(3 - 2) = 1$.

Số hạng của $B$ được tính từ $2025$ xuống $3$ là từ $2025$ đến $3$ (giảm dần 2 cho mỗi cặp), nghĩa là có:

$\text{Số cặp} = \frac{2025 - 2}{2} + 1 = \frac{2023}{2} + 1 = 1012$

Do đó, tổng $B$ sẽ là:

$B = 1 + 1 + \ldots + 1 \text{ (1012 lần)} = 1012$

**Cách 2:** Sử dụng công thức tổng số hạng

Biểu thức $B$ có thể được biểu diễn bằng công thức tổng số hạng của một dãy số liên tiếp. Ta nhận thấy rằng:

$B = 1012$

### Câu 2: Tính $S = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \ldots + 99 \cdot 100$

**Cách 1:** Tính từng số hạng

Chúng ta có thể viết lại $S$ như sau:

$S = \sum_{n=1}^{99} n \cdot (n+1)$

Ta có:

$n \cdot (n + 1) = n^2 + n$

Vậy tổng $S$ có thể được tính bằng:

$S = \sum_{n=1}^{99} (n^2 + n) = \sum_{n=1}^{99} n^2 + \sum_{n=1}^{99} n$

Ta sử dụng công thức tổng của dãy số:

$\sum_{n=1}^{k} n = \frac{k(k + 1)}{2}$
$\sum_{n=1}^{k} n^2 = \frac{k(k + 1)(2k + 1)}{6}$

Với $k = 99$:

- Tính $\sum_{n=1}^{99} n$:

$\sum_{n=1}^{99} n = \frac{99 \cdot 100}{2} = 4950$

- Tính $\sum_{n=1}^{99} n^2$:

$\sum_{n=1}^{99} n^2 = \frac{99 \cdot 100 \cdot 199}{6} = \frac{99 \cdot 100 \cdot 199}{6} = 328350$

Do đó, tổng $S$ là:

$S = 328350 + 4950 = 333300$

**Cách 2:** Sử dụng công thức tổng trực tiếp

Biểu thức $S$ cũng có thể được biểu diễn như sau:

$S = \sum_{n=1}^{99} n(n+1) = \sum_{n=1}^{99} n^2 + \sum_{n=1}^{99} n$

Ta đã tính $S$ như trên và nhận được $S = 333300$.

### Kết quả

- $B = 1012$
- $S = 333300$