Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Để tìm số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện đã cho, chúng ta có thể sử dụng phương pháp giải hệ phương trình đồng dư.

Ta có các điều kiện sau:

1. \( x \equiv 2 \mod 3 \)
2. \( x \equiv 6 \mod 7 \)
3. \( x \equiv 24 \mod 25 \)

### Bước 1: Giải hai điều kiện đầu tiên
Giải phương trình đầu tiên và thứ hai:

- Từ \( x \equiv 6 \mod 7 \), ta có thể viết \( x = 7k + 6 \) với \( k \) là số nguyên.

Thay vào điều kiện thứ nhất:

\[
7k + 6 \equiv 2 \mod 3
\]

Giảm modulo 3:

\[
7 \equiv 1 \mod 3 \Rightarrow 7k + 6 \equiv k + 0 \equiv 2 \mod 3 \Rightarrow k \equiv 2 \mod 3
\]

Do đó, ta có:

\[
k = 3m + 2 \quad \text{với } m \text{ là số nguyên}
\]

Thay vào biểu thức của \( x \):

\[
x = 7(3m + 2) + 6 = 21m + 14 + 6 = 21m + 20
\]

Vậy \( x \equiv 20 \mod 21 \).

### Bước 2: Thêm điều kiện thứ ba
Ta có \( x \equiv 20 \mod 21 \) và \( x \equiv 24 \mod 25 \).

Viết lại điều kiện thứ nhất:

\[
x = 21n + 20 \quad \text{với } n \text{ là số nguyên}
\]

Thay vào điều kiện thứ ba:

\[
21n + 20 \equiv 24 \mod 25
\]

Giảm modulo 25:

\[
21n + 20 \equiv 24 \Rightarrow 21n \equiv 4 \mod 25
\]

### Bước 3: Giải phương trình đồng dư
Để giải \( 21n \equiv 4 \mod 25 \), ta cần tìm nghịch đảo của 21 modulo 25.

Áp dụng thuật toán Euclid mở rộng, ta có:

\[
25 = 1 \times 21 + 4
\]
\[
21 = 5 \times 4 + 1
\]
\[
4 = 4 \times 1 + 0
\]

Suy ra \( 1 = 21 - 5 \times 4 \). Do đó, \( 21^{-1} \equiv -5 \equiv 20 \mod 25 \).

Nhân cả hai vế của phương trình \( 21n \equiv 4 \) với \( 20 \):

\[
n \equiv 20 \times 4 \mod 25 \Rightarrow n \equiv 80 \mod 25 \Rightarrow n \equiv 5 \mod 25
\]

### Bước 4: Thay lại để tìm x
Vậy:

\[
n = 25p + 5 \quad \text{với } p \text{ là số nguyên}
\]

Thay vào biểu thức của \( x \):

\[
x = 21(25p + 5) + 20 = 525p + 105 + 20 = 525p + 125
\]

### Bước 5: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất
Chọn \( p = 0 \):

\[
x = 125
\]

### Kết luận
Số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên là \( \boxed{125} \).

...Xem thêm

Answer 2

Để tìm số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện đã cho, chúng ta có thể sử dụng phương pháp giải hệ phương trình đồng dư.

Ta có các điều kiện sau:

1. \( x \equiv 2 \mod 3 \)
2. \( x \equiv 6 \mod 7 \)
3. \( x \equiv 24 \mod 25 \)

### Bước 1: Giải hai điều kiện đầu tiên
Giải phương trình đầu tiên và thứ hai:

- Từ \( x \equiv 6 \mod 7 \), ta có thể viết \( x = 7k + 6 \) với \( k \) là số nguyên.

Thay vào điều kiện thứ nhất:

\[
7k + 6 \equiv 2 \mod 3
\]

Giảm modulo 3:

\[
7 \equiv 1 \mod 3 \Rightarrow 7k + 6 \equiv k + 0 \equiv 2 \mod 3 \Rightarrow k \equiv 2 \mod 3
\]

Do đó, ta có:

\[
k = 3m + 2 \quad \text{với } m \text{ là số nguyên}
\]

Thay vào biểu thức của \( x \):

\[
x = 7(3m + 2) + 6 = 21m + 14 + 6 = 21m + 20
\]

Vậy \( x \equiv 20 \mod 21 \).

### Bước 2: Thêm điều kiện thứ ba
Ta có \( x \equiv 20 \mod 21 \) và \( x \equiv 24 \mod 25 \).

Viết lại điều kiện thứ nhất:

\[
x = 21n + 20 \quad \text{với } n \text{ là số nguyên}
\]

Thay vào điều kiện thứ ba:

\[
21n + 20 \equiv 24 \mod 25
\]

Giảm modulo 25:

\[
21n + 20 \equiv 24 \Rightarrow 21n \equiv 4 \mod 25
\]

### Bước 3: Giải phương trình đồng dư
Để giải \( 21n \equiv 4 \mod 25 \), ta cần tìm nghịch đảo của 21 modulo 25.

Áp dụng thuật toán Euclid mở rộng, ta có:

\[
25 = 1 \times 21 + 4
\]
\[
21 = 5 \times 4 + 1
\]
\[
4 = 4 \times 1 + 0
\]

Suy ra \( 1 = 21 - 5 \times 4 \). Do đó, \( 21^{-1} \equiv -5 \equiv 20 \mod 25 \).

Nhân cả hai vế của phương trình \( 21n \equiv 4 \) với \( 20 \):

\[
n \equiv 20 \times 4 \mod 25 \Rightarrow n \equiv 80 \mod 25 \Rightarrow n \equiv 5 \mod 25
\]

### Bước 4: Thay lại để tìm x
Vậy:

\[
n = 25p + 5 \quad \text{với } p \text{ là số nguyên}
\]

Thay vào biểu thức của \( x \):

\[
x = 21(25p + 5) + 20 = 525p + 105 + 20 = 525p + 125
\]

### Bước 5: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất
Chọn \( p = 0 \):

\[
x = 125
\]

### Kết luận
Số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên là \( \boxed{125} \).

Số thứ tự	Loại hàng	Số lượng (quyển)	Giá đơn vị (đồng)	Tổng số tiền (đồng)
1	Vở loại 1	35	2000	...
2	Vở loại 2	42	1500	...
3	Vở loại 3	38	1200	...
Cộng:				...

1 câu trả lời 150

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 6