Để tìm số giá trị nguyên của \( m \) trong hàm số

\[
y = \frac{1}{3}x^3 - 2mx^2 + (m + 3)x - 5 + m,
\]

ta có thể đơn giản hóa biểu thức:

1. **Đặt hàm số**:

\[
y = \frac{1}{3}x^3 - 2mx^2 + (m + 3)x + (m - 5).
\]

2. **Xét điều kiện**:

Để hàm số có số nghiệm nguyên, ta cần tìm giá trị của \( m \) sao cho phương trình

\[
\frac{1}{3}x^3 - 2mx^2 + (m + 3)x + (m - 5) = 0
\]

có 3 nghiệm nguyên.

3. **Hệ số của phương trình**:

Phương trình bậc 3 có dạng

\[
ax^3 + bx^2 + cx + d = 0,
\]

với \( a = \frac{1}{3}, b = -2m, c = m + 3, d = m - 5 \).

4. **Tính bậc của phương trình**:

Theo định lý Viète, tổng các nghiệm \( x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a} = \frac{6m}{1} = 6m \).

5. **Tìm số nguyên của m**:

Để tìm số nghiệm nguyên, cần khảo sát dấu và sự biến thiên của hàm số này. Thực hiện khảo sát:

- Xét \( y \) tại các giá trị nguyên gần nhau để tìm ra giá trị của \( m \) tương ứng sao cho phương trình có 3 nghiệm nguyên.

6. **Phương trình bậc 3**:

Từ đó, tính cụ thể các giá trị nguyên của \( m \) cho đến khi đạt được điều kiện yêu cầu về số nghiệm.

7. **Kiểm tra các giá trị**:

Kiểm tra các giá trị của \( m \) từ -10 đến 10 và xác định số nghiệm nguyên từ các giá trị này.

Kết quả cuối cùng sẽ cho số lượng giá trị nguyên của \( m \) cho hàm số này. Bạn có thể thực hiện bước cuối cùng để kiểm tra và đếm số giá trị thích hợp.