Để giải bài toán này, ta sẽ tiến hành các bước như sau:

### 1. **Xác định các biến**
- Gọi số gà của nhà Nam là \( x \) con.
- Gọi số gà của nhà Mai là \( y \) con.

### 2. **Sử dụng thông tin cho trước**
- Trung bình cộng số gà của hai nhà là 90 con, ta có phương trình:
\[
\frac{x + y}{2} = 90
\]
Từ đó, ta suy ra:
\[
x + y = 180 \quad \text{(1)}
\]

- Số gà của nhà Mai bằng \( \frac{2}{7} \) số gà của nhà Nam, ta có phương trình:
\[
y = \frac{2}{7}x \quad \text{(2)}
\]

### 3. **Thay thế phương trình (2) vào phương trình (1)**
Thay \( y \) từ phương trình (2) vào phương trình (1):
\[
x + \frac{2}{7}x = 180
\]

### 4. **Giải phương trình**
Tính toán biểu thức:
\[
x + \frac{2}{7}x = \frac{7}{7}x + \frac{2}{7}x = \frac{9}{7}x
\]
Vậy ta có:
\[
\frac{9}{7}x = 180
\]
Nhân cả hai vế với \( \frac{7}{9} \) để tìm \( x \):
\[
x = 180 \times \frac{7}{9} = 140
\]

### 5. **Tìm số gà của nhà Mai**
Thay giá trị của \( x \) vào phương trình (2) để tìm \( y \):
\[
y = \frac{2}{7} \times 140 = 40
\]

### 6. **Kết luận**
- Số gà của nhà Nam là \( 140 \) con.
- Số gà của nhà Mai là \( 40 \) con.

### Tóm tắt
- **Nhà Nam:** 140 con gà
- **Nhà Mai:** 40 con gà

Nếu cần thêm thông tin hoặc có phần nào chưa rõ, hãy cho mình biết nhé!