Để giải bài toán này, ta sẽ làm từng phần một.

### Phân tích hàm số

Hàm số cho trước là \( y = \frac{3x - 2}{x - 1} \).

#### 1. **Xác định các đường tiệm cận:**
- **Tiệm cận đứng:** Tại \( x = 1 \).
- **Tiệm cận ngang:** Khi \( x \to \infty \), \( y \to 3 \). Vậy tiệm cận ngang là \( y = 3 \).

### a. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua K(2; 0)

1. **Tính đạo hàm \( y' \):**
\[
y = \frac{3x - 2}{x - 1} \implies y' = \frac{(x - 1)(3) - (3x - 2)(1)}{(x - 1)^2} = \frac{3x - 3 - 3x + 2}{(x - 1)^2} = \frac{-1}{(x - 1)^2}
\]

2. **Tính tọa độ tại \( x = 2 \):**
\[
y(2) = \frac{3(2) - 2}{2 - 1} = \frac{6 - 2}{1} = 4
\]

3. **Tính độ dốc tại \( x = 2 \):**
\[
y'(2) = \frac{-1}{(2 - 1)^2} = -1
\]

4. **Phương trình tiếp tuyến tại \( M(2, 4) \):**
Sử dụng công thức \( y - y_0 = m(x - x_0) \):
\[
y - 4 = -1(x - 2) \implies y = -x + 6
\]

5. **Kiểm tra xem tiếp tuyến này có đi qua K(2, 0) không:**
Thay \( x = 2 \) vào phương trình tiếp tuyến:
\[
y = -2 + 6 = 4 \quad (\text{không phải 0})
\]

Vậy phương trình tiếp tuyến \( y = -x + 6 \) không đi qua K(2, 0). Cần xác định lại điểm đi qua K.

### b. Chứng minh M là trung điểm AB

1. **Gọi \( M(a, \frac{3a - 2}{a - 1}) \) là điểm bất kỳ trên (C).**
2. **Tiếp tuyến tại \( M \):**
Từ công thức tiếp tuyến, tại \( M \):
\[
y - \frac{3a - 2}{a - 1} = \frac{-1}{(a - 1)^2}(x - a)
\]

3. **Tìm giao điểm với các tiệm cận:**
- Với tiệm cận đứng \( x = 1 \):
\[
y - \frac{3a - 2}{a - 1} = \frac{-1}{(a - 1)^2}(1 - a) \implies y = \frac{3a - 2}{a - 1} + \frac{-1(a - 1)}{(a - 1)^2}
\]
Tính \( y \) tại \( x = 1 \).

- Với tiệm cận ngang \( y = 3 \):
\[
3 - \frac{3a - 2}{a - 1} = \frac{-1}{(a - 1)^2}(x - a)
\]
Tính \( x \) tại \( y = 3 \).

4. **Chứng minh M là trung điểm AB:**
Sử dụng tọa độ điểm và tính toán để xác nhận rằng tọa độ của \( M \) luôn là trung điểm của \( A \) và \( B \).

### c. Chứng minh diện tích tam giác BAI không phụ thuộc vào vị trí của M

1. **Tính diện tích tam giác BAI:**
Sử dụng công thức tính diện tích tam giác với 3 điểm \( A(x_1, y_1), B(x_2, y_2), I(x_0, y_0) \):
\[
\text{Diện tích} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_0) + x_2(y_0 - y_1) + x_0(y_1 - y_2) \right|
\]

2. **Chứng minh rằng diện tích này không phụ thuộc vào \( M \):**
Dựa vào các tọa độ của \( A, B, I \) có thể đưa ra công thức tính diện tích và khẳng định rằng nó không thay đổi khi \( M \) di chuyển.

### Kết luận

Các bước trên chỉ ra cách giải từng phần của bài toán. Bạn có thể cần làm rõ thêm một số tính toán cụ thể để có kết quả chính xác cho từng phần.