Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Để chứng minh một số gồm 27 chữ số 10 viết liền nhau (tức là số 101010...10, có tổng cộng 27 chữ số 10) chia hết cho 27, chúng ta có thể viết số này dưới dạng toán học.

Số này có thể được biểu diễn là:

\[ N = 10^{26} + 10^{24} + 10^{22} + ... + 10^2 + 10^0 \]

Đây là một cấp số nhân với số hạng đầu là \(1\) (tức là \(10^0\)) và công bội là \(10^2\), với tổng số hạng là 14.

Áp dụng công thức tính tổng cấp số nhân:

\[ S = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r} \]

Trong đó:
- \(a = 1\) (số hạng đầu),
- \(r = 10^2 = 100\) (công bội),
- \(n = 14\) (số hạng).

Thay vào công thức, ta có:

\[ S = \frac{1(1 - 100^{14})}{1 - 100} = \frac{1 - 100^{14}}{-99} = \frac{100^{14} - 1}{99} \]

Để chứng minh \(N\) chia hết cho \(27\), ta sẽ xem xét \(100^{14} - 1\) chia cho \(27\).

### Tính \(100 \mod 27\)

Ta có:

\[ 100 \div 27 = 3 \quad \text{và} \quad 100 - 27 \times 3 = 19 \]

Vậy:

\[ 100 \equiv 19 \mod 27 \]

### Tính \(100^{14} \mod 27\)

Ta sử dụng Định lý Fermat, vì \(19\) và \(27\) là coprime:

\[ 19^{\phi(27)} = 19^18 \equiv 1 \mod 27 \]

### Tính \(19^{14} \mod 27\)

Ta sẽ tính \(19^2 \mod 27\):

\[ 19^2 = 361 \div 27 = 13 \quad \text{và} \quad 361 - 27 \times 13 = 10 \]
\[ 19^2 \equiv 10 \mod 27 \]

Tiếp theo, tính \(19^4\):

\[ 19^4 = (19^2)^2 \equiv 10^2 = 100 \]
\[ 100 \div 27 = 3 \quad \text{và} \quad 100 - 27 \times 3 = 19 \]
\[ 19^4 \equiv 19 \mod 27 \]

Tiếp theo, tính \(19^8\):

\[ 19^8 = (19^4)^2 \equiv 19^2 \equiv 10 \mod 27 \]

### Tính \(19^{14}\)

\[ 19^{14} = 19^8 \times 19^4 \times 19^2 \equiv 10 \times 19 \times 10 \]
\[ 10 \times 19 = 190 \div 27 = 7 \quad \text{và} \quad 190 - 27 \times 7 = 1 \]
\[ 19^{14} \equiv 1 \mod 27 \]

### Kết luận

Cuối cùng, ta có:

\[ 100^{14} \equiv 1 \mod 27 \]
\[ 100^{14} - 1 \equiv 0 \mod 27 \]

Do đó, \(N = \frac{100^{14} - 1}{99}\) chia hết cho \(27\).

Kết luận, số gồm 27 chữ số 10 viết liền nhau chia hết cho \(27\).

...Xem thêm

Answer 2