Để rút gọn biểu thức \( A \) sau khi đã cho điều kiện \( ax + by + cz = 0 \), ta thực hiện các bước sau:

**Biểu thức cần rút gọn:**

\[
A = \frac{bc(y - z)^2 + ca(z - x) + a^2b(x - y)^2}{ax^2 + by + cz^2}
\]

**Điều kiện:**

\[
ax + by + cz = 0
\]

**Bước 1: Mở rộng biểu thức tử số**

Mở rộng từng phần trong tử số:

1. \( (y - z)^2 = y^2 - 2yz + z^2 \)
2. \( (x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 \)

Thay vào tử số:

\[
bc(y - z)^2 = bc(y^2 - 2yz + z^2)
\]
\[
a^2b(x - y)^2 = a^2b(x^2 - 2xy + y^2)
\]

Kết hợp lại:

\[
bc(y - z)^2 + a^2b(x - y)^2 = bc(y^2 - 2yz + z^2) + a^2b(x^2 - 2xy + y^2)
\]
\[
= bc y^2 - 2bcyz + bc z^2 + a^2b x^2 - 2a^2b xy + a^2b y^2
\]
\[
= (bc + a^2b) y^2 + bc z^2 + a^2b x^2 - 2bcyz - 2a^2b xy
\]

Thay vào biểu thức tử số:

\[
A = \frac{(bc + a^2b) y^2 + bc z^2 + a^2b x^2 - 2bcyz - 2a^2b xy + ca(z - x)}{ax^2 + by + cz^2}
\]

**Bước 2: Sử dụng điều kiện \( ax + by + cz = 0 \)**

Giải phương trình điều kiện:

\[
ax + by + cz = 0 \implies cz = -ax - by
\]

Thay vào mẫu số:

\[
cz^2 = (-ax - by)^2
\]
\[
cz^2 = a^2x^2 + 2abxy + b^2y^2
\]

Thay vào mẫu số:

\[
ax^2 + by + cz^2 = ax^2 + by + a^2x^2 + 2abxy + b^2y^2
\]
\[
= (a + a^2)x^2 + by + (b + b^2)y^2 + 2abxy
\]

**Bước 3: Rút gọn**

Nhìn vào tử số và mẫu số:

- Tử số: \((bc + a^2b) y^2 + bc z^2 + a^2b x^2 - 2bcyz - 2a^2b xy + ca(z - x)\)
- Mẫu số: \((a + a^2)x^2 + by + (b + b^2)y^2 + 2abxy\)

Kết quả cuối cùng thường là một số hằng số, đặc biệt nếu \(x\), \(y\), và \(z\) thỏa mãn một số điều kiện đặc biệt hoặc nếu bạn có thể thay các giá trị cụ thể để đơn giản hóa hơn.

Trong nhiều trường hợp, việc phân tích và rút gọn biểu thức đại số như trên có thể yêu cầu công cụ tính toán đại số cụ thể hoặc điều kiện bổ sung để có kết quả rõ ràng.