Để giải bài toán, ta làm theo các bước sau:

### Phần A: Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn

1. **Tính chu vi của hình vuông**

Chu vi của hình vuông cạnh 5 cm là:
\[
4 \times 5 = 20 \text{ cm}
\]

Ta cần chu vi của mảnh vườn hình chữ nhật bằng chu vi của hình vuông, tức là 20 cm.

2. **Thiết lập phương trình cho chiều dài và chiều rộng**

Gọi chiều dài của mảnh vườn là \( l \) và chiều rộng là \( w \). Ta có hai thông tin:

- Chu vi của hình chữ nhật:
\[
2(l + w) = 20
\]
Giải phương trình này, ta có:
\[
l + w = 10
\]

- Chiều dài hơn chiều rộng 4 m (hoặc 400 cm vì chiều dài và chiều rộng đang tính bằng cm):
\[
l = w + 400
\]

3. **Giải hệ phương trình**

Thay \( l \) từ phương trình \( l = w + 400 \) vào phương trình \( l + w = 10 \):
\[
(w + 400) + w = 10
\]
\[
2w + 400 = 10
\]
\[
2w = 10 - 400
\]
\[
2w = -390
\]
\[
w = -195
\]

Ta nhận thấy rằng chiều rộng \( w \) âm là không hợp lý trong bối cảnh này. Điều này có thể do một lỗi trong việc chuyển đổi đơn vị hoặc trong điều kiện bài toán. Nếu dữ liệu ban đầu là đúng, và nếu chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn đều tính bằng mét thì ta cần kiểm tra lại điều kiện hoặc dữ liệu.

### Phần B: Tính lượng rau thu hoạch được

Nếu giả sử chiều dài và chiều rộng được cho đúng và chiều dài là 1 m và chiều rộng là 1 m (hoặc nếu dữ liệu đúng không có lỗi), thì ta làm như sau:

1. **Tính diện tích mảnh vườn**

Diện tích của mảnh vườn là \( l \times w \). Nếu mảnh vườn là hình chữ nhật với kích thước tính bằng mét, diện tích sẽ tính bằng mét vuông.

2. **Diện tích trồng rau**

Diện tích để trồng rau là \( \frac{2}{3} \) diện tích mảnh vườn.

3. **Lượng rau thu hoạch được**

Mỗi mét vuông thu hoạch được 5 kg rau.

Tổng lượng rau thu hoạch được:
\[
\text{Lượng rau} = \left(\frac{2}{3} \times \text{Diện tích mảnh vườn}\right) \times 5
\]

Cần biết diện tích chính xác của mảnh vườn để tính toán cụ thể.

**Lưu ý:** Để có các số liệu chính xác, cần xác minh lại dữ liệu và đơn vị của bài toán để đảm bảo tính hợp lý của các kết quả tính toán.