Để xác định giá trị của biểu thức \(9m^2 + 6mn + 36n\), ta cần phân tích các điều kiện liên quan đến tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của hàm số \[y = \frac{mx^2 + 2x - 3}{nx^2 + 2mx - 2}.\]

### Phân tích tiệm cận của hàm số

1. **Tiệm cận đứng:**

Để xác định tiệm cận đứng, ta cần tìm giá trị của \(x\) làm cho mẫu số bằng 0.

Đặt \(nx^2 + 2mx - 2 = 0\). Theo đề bài, \(x = 2\) là tiệm cận đứng, do đó:
\[
n(2)^2 + 2m(2) - 2 = 0
\]
\[
4n + 4m - 2 = 0
\]
\[
4n + 4m = 2
\]
\[
2n + 2m = 1
\]
\[
n + m = \frac{1}{2}
\]

2. **Tiệm cận ngang:**

Để tìm tiệm cận ngang, ta xét giới hạn của hàm số khi \(x \to \pm \infty\).

Giới hạn của hàm số khi \(x \to \pm \infty\) phụ thuộc vào tỷ số của các hệ số của \(x^2\) trong tử số và mẫu số:
\[
\lim_{x \to \pm \infty} \frac{mx^2 + 2x - 3}{nx^2 + 2mx - 2} = \frac{m}{n}
\]
Theo đề bài, tiệm cận ngang của hàm số là \(y = 2\), do đó:
\[
\frac{m}{n} = 2
\]
\[
m = 2n
\]

### Tìm giá trị của biểu thức

Chúng ta có hai phương trình:
1. \(n + m = \frac{1}{2}\)
2. \(m = 2n\)

Thay \(m = 2n\) vào phương trình \(n + m = \frac{1}{2}\):
\[
n + 2n = \frac{1}{2}
\]
\[
3n = \frac{1}{2}
\]
\[
n = \frac{1}{6}
\]

Thay giá trị của \(n\) vào phương trình \(m = 2n\):
\[
m = 2 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{3}
\]

### Tính giá trị của biểu thức \(9m^2 + 6mn + 36n\):

Thay giá trị \(m = \frac{1}{3}\) và \(n = \frac{1}{6}\) vào biểu thức:
\[
9m^2 + 6mn + 36n
\]
\[
9 \left(\frac{1}{3}\right)^2 + 6 \left(\frac{1}{3}\right) \left(\frac{1}{6}\right) + 36 \left(\frac{1}{6}\right)
\]
\[
9 \cdot \frac{1}{9} + 6 \cdot \frac{1}{18} + 6
\]
\[
1 + \frac{1}{3} + 6
\]
\[
1 + \frac{1}{3} + 6 = 7 + \frac{1}{3} = \frac{22}{3}
\]

**Kết luận:** Biểu thức \(9m^2 + 6mn + 36n\) có giá trị là \(\frac{22}{3}\).